Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=20\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt{x}}}\) spełnia \(\displaystyle{ f''(x)=\frac{21-20x}{4x^{\frac{5}{2}}}}\), a zatem
jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac{21}{20}\right]}\) i wklęsła w \(\displaystyle{ \left(\frac{21}{20},+\infty\right)}\)
Bez straty ogólności (wszak nierówność jest symetryczna) niech \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\).
Rozważymy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) jeśli \(\displaystyle{ b\le \frac{21}{20}}\), to na mocy nierówności Jensena i założenia nt. sumy zmiennych zajdzie
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)+f(c)\ge f(a)+2f\left(\frac{b+c}{2}\right)=f(a)+2f\left(\frac{3-a}{2}\right)}\)
Wystarczy zatem wykazać w tym przypadku, że gdy \(\displaystyle{ a\in [1,3)}\), to
\(\displaystyle{ f(a)+2f\left(\frac{3-a}{2}\right)\ge 81}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 20\sqrt{a}+\frac{7}{\sqrt{a}}+40\sqrt{\frac{3-a}{2}}+\frac{14}{\sqrt{\frac{3-a}{2}}}\ge 81\\20a\sqrt{\frac{3-a}{2}}+7\sqrt{\frac{3-a}{2}}+40\sqrt{a}\left(\frac{3-a}{2}\right)+14\sqrt{a}\ge 81\sqrt{\frac{3-a}{2}\cdot a}\\2\sqrt{a}(37-10a)\ge \sqrt{\frac{3-a}{2}}\left(81\sqrt{a}-20a-7\right)}\)
Oczywiście dla \(\displaystyle{ a\in[1,3)}\) mamy \(\displaystyle{ 81\sqrt{a}-20a-7>0}\) (funkcja wklęsła przyjmuje minimum na przedziale w jednym z jego krańców, w jedynce nierówność zachodzi, w trójce także), zatem możemy tę ostatnią nierówność podnieść stronami do kwadratu, dostając (w tym przedziale) równoważną:
\(\displaystyle{ 4a(37-10a)^{2}\ge \frac{3-a}{2}\cdot \left(81\sqrt{a}-20a-7\right)^{2} }\)
Żeby nie operować na pierwiastkach, podstawiamy \(\displaystyle{ t=\sqrt{a}, \ t\in\left[1,\sqrt{3}\right)}\), i w tym przedziale mamy do udowodnienia
\(\displaystyle{ 8t^{2}\left(37-10t^{2}\right)^{2}\ge \left(3-t^{2}\right)\left(81t-20t^{2}-7\right)^{2}}\)
Po hardym dzieleniu wielomianów lub niezbyt hardym wklepaniu w wolframa mamy:
\(\displaystyle{ 3(t-1)^{2}\left( 400t^{4}-280t^{3}-1053t^{2}+1036t-49\right)\ge 0}\)
Wystarczy więc wykazać, że ten ostatni czynnik jest nieujemny dla \(\displaystyle{ t\ge 1}\), a to już robię bardzo na siłkę:
\(\displaystyle{ 400t^{4}-280t^{3}-1053t^{2}+1036t-49\\\ge 400t^{4}-280t^{3}-1053t^{2}+987t\\=t\left(400t^{3}-280t^{2}-1053t+987\right)}\)
i teraz rozważam funkcję \(\displaystyle{ g(t)=400t^{3}-280t^{2}-1053t+987}\), której minimum w rozważanym przedziale jest dodatnie, ale dalsze szpetne rachunki sobie podaruję. Bez przesady, wielomian trzeciego stopnia, pochodna to ledwie wielomian drugiego stopnia.

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeśli \(\displaystyle{ b>\frac{21}{20}}\), to korzystamy dwukrotnie z nierówności Karamaty.
Najpierw \(\displaystyle{ \left(a+b-\frac{21}{20}, \frac{21}{20}\right)\succ(a,b)}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest wklęsła na prawo od \(\displaystyle{ \frac{21}{20}}\), więc
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)+f(c)\ge f\left(a+b-\frac{21}{20}\right)+f\left(\frac{21}{20}\right)+f(c)}\)
Następnie \(\displaystyle{ \left(\frac{21}{20}, c\right)\succ \left(1, c+\frac{1}{20}\right)}\), zaś \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła na lewo od \(\displaystyle{ \frac{21}{20}}\), toteż
\(\displaystyle{ f\left(a+b-\frac{21}{20}\right)+f\left(\frac{21}{20}\right)+f(c)\\ \ge f\left(a+b-\frac{21}{20}\right)+f(1)+f\left(c+\frac{1}{20}\right)}\)
(oczywiście skoro \(\displaystyle{ a+b+c=3}\), zmienne są dodatnie i najmniejszą z nich jest \(\displaystyle{ c}\), to w omawianym przypadku mamy wręcz \(\displaystyle{ c\le \frac{9}{10}}\)).
Wystarczy zatem udowodnić, że
\(\displaystyle{ f\left(a+b-\frac{21}{20}\right)+f(1)+f\left(c+\frac{1}{20}\right)\ge 81}\)
a równoważnie:
\(\displaystyle{ f\left(\frac{39}{20}-c\right)+f(1)+f\left(c+\frac{1}{20}\right)\ge 81\\f\left(\frac{39}{20}-c\right)+f\left(c+\frac{1}{20}\right)\ge 54 }\)

Teraz w celu uproszczenia obliczeń zauważmy, że istnieje bardziej estetyczna nierówność, która pociąga prawdziwość powyższej:
jeśli \(\displaystyle{ x,y>0}\) i \(\displaystyle{ x+y=2}\), to
\(\displaystyle{ f(x)+f(y)\ge 54}\). Poniżej ją „udowodnimy", a przynajmniej sprowadzimy do całkiem elementarnej. WLOG niech \(\displaystyle{ x\ge 1}\). Równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ 20\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt{x}}+20\sqrt{2-x}+\frac{7}{\sqrt{2-x}}\ge 54 \\20x\sqrt{2-x}+7\sqrt{2-x}+20\sqrt{x}(2-x)+7\sqrt{x}\ge 54\sqrt{x(2-x)}\\\sqrt{x}\left(47-20x\right)\ge \sqrt{2-x}\left(54\sqrt{x}-20x-7\right)\\x\left(47-20x\right)^{2}\ge (2-x)\left(54\sqrt{x}-20x-7\right)^{2}}\)
(możemy podnieść stronami do kwadratu, bo gdy \(\displaystyle{ 2>x\ge 1}\), to \(\displaystyle{ 47-20x\ge0}\), a ponadto, co jest trochę mniej trywialne, \(\displaystyle{ 54\sqrt{x}-20x-7\ge 0}\) – znów korzystamy z tego, że funkcja wklęsła w przedziale przyjmuje minimum na tym przedziale w jednym z jego końców i sprawdzamy wartość tego wyrażenia dla jedynki i dwójki).
Ponownie podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{x}=t}\) celem eliminacji pierwiastków i mamy do wykazania, że gdy \(\displaystyle{ t\in\left[1, \sqrt{2}\right)}\), to
\(\displaystyle{ t^{2}\left(47-20t^{2}\right)^{2}-\left(2-t^{2}\right)\left(54t-20t^{2}-7\right)^{2}\ge 0}\)
Po żmudnym porządkowaniu i dzieleniu wielomianów dostajemy równoważną:
\(\displaystyle{ 2(t-1)^{2}\left(400t^{4}-280t^{3}-702t^{2}+658t-49 \right)\ge 0 }\)
Ponownie wystarczy zająć się tym ostatnim czynnikiem, i analogicznie jak poprzednio, szacuję grubo:
\(\displaystyle{ 400t^{4}-280t^{3}-702t^{2}+658t-49\\\ge 400t^{4}-280t^{3}-702t^{2}+609t\\=t\left(400t^{3}-280t^{2}-702t+609\right)}\)
Tutaj znów wystarczy zbadać funkcję wielomianową trzeciego stopnia i pozostawię to jako nieinteresujące ćwiczenie.

Jeżeli o mnie chodzi, to szczegółowe rachunki w tym przypadku są mniej ważne od pomysłu na rozwiązanie, a skoro podejrzałeś w wolframie, że jest realizacja, to mnie to dziś wystarczy. To jest szczególny przypadek nierówności z zadania 1.33 z czwartego tomu Mathematical Inequalities. Publikacja powróciła na stronę Vasca, tym razem w wersji wydawniczej, mniej więcej w tym samym czasie, gdy na aops pojawił się użytkownik csav10 (scary music playing).
Nie mam rozwiązania bez pochodnych, eleganckiego również nie mam. Myślę, że to było głównym powodem założenia tego wątku.
Z \(\displaystyle{ f(x)=20\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt{x}}}\) oraz \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\), moje rozwiązanie ma trzy punkty:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{14^2}{13^2}\ge a}\), to bierzemy $$u(x)=\begin{cases}f(x)&\mbox{dla }\ 0<x\le 1\\h_1(x)&\mbox{dla }\ 1<x\le\frac{14^2}{13^2}\end{cases}$$ Wykresem funkcji \(\displaystyle{ h_1}\) jest prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ \left(\frac{14^2}{13^2},f\left(\frac{14^2}{13^2}\right)\right)}\) i styczna do wykresu \(\displaystyle{ f}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\). Wtedy z Jensena $$\sum f(a)\ge\sum u(a)\ge 3u\left(\frac{\sum a}{3}\right)=3u(1)=3f(1)=81.$$
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeżeli \(\displaystyle{ a>\frac{14^2}{13^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\ge b}\), to bierzemy $$v(x)=\begin{cases}f(x)&\mbox{dla }\ 0<x\le x_0\\ h_2(x)&\mbox{dla }\ x_0<x\le\frac{4}{3}\end{cases}$$ Wykresem funkcji \(\displaystyle{ h_2}\) jest prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ \left(\frac{4}{3},f\left(\frac{4}{3}\right)\right)}\) i styczna do wykresu \(\displaystyle{ f}\) dla \(\displaystyle{ x=x_0}\). Obliczenia dają \(\displaystyle{ x_0=\frac{7}{800}(61+\sqrt{21\cdot 101})}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x_0\ge\frac{1}{2}\left(3-\frac{14^2}{13^2}\right)}\), to możemy efektywnie użyć Jensena otrzymując $$\sum f(a)\ge f(a)+v(b)+v(c)\ge f(a)+2v\left(\frac{b+c}{2}\right)=f(a)+2f\left(\frac{3-a}{2}\right)\ge 81.$$
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeżeli \(\displaystyle{ b>\frac{4}{3}}\), to mamy $$\sum f(a)\ge 2f\left(\frac{4}{3}\right)+f\left(\frac{7}{20}\right)\ge 81.$$