Matematyka.pl

1. Mając dany trójkąt można obrócić go (symetria środkowa) wokół środka ciężkości i powstaje gwiazda. Czy można wyznaczyć pole tej gwiazdy mając dane pole obracanego trójkąta ?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba całkowita najlepiej przybliżająca \(\displaystyle{ \frac{x-y}{x+y}}\) jest nieparzysta (liczby \(\displaystyle{ x }\) i \(\displaystyle{ y }\) są losowe z \(\displaystyle{ (0, 1) }\)) ?
3. Ile jest punktów kratowych wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą zamkniętą \(\displaystyle{ (x^2+y^2-1)^3 = x^2y^3}\) ?
4. Na ile sposobów można ustawić blokadę \(\displaystyle{ k+2}\) pól kwadratowej szachownicy o boku \(\displaystyle{ k}\) , aby król nie mógł przejść z lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu ?
5. Wyznaczyć cztery parzyste liczby całkowite nieujemne, które są kolejnymi wyrazami niestałego ciągu arytmetycznego i iloczyn sumy trzech ostatnich i sumy dwóch skrajnych jest równy sześcianowi średniej arytmetycznej dwóch pierwszych liczb.
6. Jaki jest zbiór wartości modułów pierwiastków wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach, których moduł jest nie większy niż \(\displaystyle{ 1}\) ?
7. Rozkład
Wykazać, że koło można rozłożyć na nieskończony zbiór domkniętych odcinków, tak by jeden z końców każdego odcinka był na brzegu koła.
Uwagi: Udowodnić analogię dla trójkąta
8. Ciągi Edwardsa
Są to takie ciągi liczb naturalnych, których dowolne dwa różne wyrazy są względnie pierwsze. Udowodnić że takim jest ciąg \(\displaystyle{ F_n = F_{n-1}^2 - 2,}\) ale \(\displaystyle{ F_0}\) jest nieparzyste i wskazać trzy inne przykłady takich ciągów.
9. Niech \(\displaystyle{ \NN_9}\) będzie zbiorem tych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie mają dziewiątki.
Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN_9} \frac{1}{n}}\)
jest zbieżny ?

10. Czy równanie \(\displaystyle{ y'= y-1 }\) ma jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ y(x)= Ae^x+1}\). Uzasadnić.
11. Graf
Wierzchołki nieskończonego grafu są indeksowane liczbami naturalnymi i istnieje krawędź \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\) jeśli \(\displaystyle{ a^2+b^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a+b+1}\). Udowodnić, że graf jest spójny.
A czy ten graf ma cykle ? I czy jest lokalnie skończony.
12. Podać binarne przedstawienie kwadratu liczby jedynkowej.
Uwagi: Liczba jedynkowa to \(\displaystyle{ \frac{10^k -1}{9}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\)
13. Wyznaczył wartości \(\displaystyle{ a, b,c,}\) aby zachodziła tożsamość
\(\displaystyle{ \sin(x+y+z) = \sin(x) \frac{\sin(y+b-a)}{\sin(b-a)} \frac{\sin(z+c-a)}{\sin(c-a)} + \frac{\sin(x+a-b)}{\sin(a-b)} \sin(y) \frac{\sin(z+c-b)}{\sin(c-b)} + \frac{\sin(x+a-c)}{\sin(a-c)} \frac{\sin(y+b-c)}{\sin(b-c)}\sin(z). }\)
dr Trigs Problems
14. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p> 10^{9}}\) i taka, iż \(\displaystyle{ 4p+1}\) też jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że rozwinięcie dziesiętne \(\displaystyle{ \frac{1}{4p+1}}\) ma wszystkie cyfry \(\displaystyle{ 0,...,9}\)
Chorwacja
15. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie określona \(\displaystyle{ f(n) = n \ XOR \ 2n}\).
Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ 1, f(1), f(f(1)), f( f(f(1)) )}\) są wszystkie liczby w formie \(\displaystyle{ 2^{2^n}-1 }\) (choć nie tylko takie).
Uwagi: Alternatywa rozłączna tj. funkcja XOR jest prawdziwy, gdy nieparzysta liczba argumentów jest prawdą.
16. Na spotkaniu jest \(\displaystyle{ 90}\) matematyków i każdy z nich ma co najmniej \(\displaystyle{ 60}\) znajomych. Czy z tego wynika, że istnieje czwórka matematyków mająca tę samą ilość znajomych ?
17. Trzy pierwiastki
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 5(\sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x}) = 6x+ 8\sqrt{1-x^2}}\)
i) elementarnie,
ii) z użyciem trygonometrii.
18. Udowodnić, że jeśli okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do \(\displaystyle{ AB }\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), to okręgi wpisane w trójkąty \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ BDC}\) są styczne zewnętrznie
19. Pomieszanie z Poplątaniem
W pociągu z Poznania do Warszawy jedzie trzech pasażerów: profesor Nowak, inżynier Szymański, sędzia Wolniewicz. Przypadek zrządził, że tak samo nazywają się: palacz, kierownik parowozu i konduktor pociągu.
Sędzia Wolniewicz mieszka w Poznaniu, konduktor w miejscowości pomiędzy Poznaniem a Warszawą, a imiennik konduktora w Bydgoszczy. Miesięczne wynagrodzenie inżyniera Szymańskiego to 27 322 zł, a konduktor zarabia dokładnie \(\displaystyle{ \frac{2}3{} }\) tego, co zamieszkały tuż obok jego domu jeden z trzech pasażerów. Kolejarze są wszyscy członkami klubu sportowego, przy czym jeden z nich, mianowicie Nowak, bije palacza na pięści w stosunku 2:1.
Jak nazywa się kierownik parowozu ?
20. Wykazać zbieżność szeregu i obliczyć jego sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} {2n \choose n}(\frac{1}{8})^n.}\)
Quora
21. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(x^3+xy+y^3) = x^2 f(x)+ y^2f(y)+ z^2f(z).}\)
Zhautykov Olympiad
22. Jakie są bijekcje \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\) :
\(\displaystyle{ f(x+y) = f(x)+ f(y) + 2 f^{-1}(f(x)f(y))}\)
dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
23. Uzasadnić geometrycznie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sin(x)} = \frac{1 - \sin(x)}{\cos^2(x)}.}\)
24. Udowodnić, że styczna do okręgu opisanego na trójkącie, w jednym z wierzchołków jest równoległa do odcinka łączącego spodki wysokości z dwóch pozostałych wierzchołków tego trójkąta.
25. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x(1+ \frac{1}{x^2+y^2})=12 \\ 5y(1 - \frac{1}{x^2+y^2})=4 \end{cases}}\)
i) z użyciem liczb zespolonych,
ii) elementarnie.

26. Piła to wykres funkcji ciągłej i kawałkami liniowej (na przemian rosnącej i malejącej) i która ma na końcach przedziału określenia wartości zero.
Kiedy pole pod piłą jest największe jeśli długość piły jest ustalona, a jej "zęby" są stałej długości ?
27. Wskazać takie \(\displaystyle{ f }\), że \(\displaystyle{ f'' = f }\), ale \(\displaystyle{ f \neq f' }\). Uogólnić na \(\displaystyle{ k }\) tą pochodną.
28. Udowodnić, że \(\displaystyle{ y^3 -2y^2 +1}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, o ile \(\displaystyle{ y>3}\) (liczba całkowita).
29. Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) , liczby \(\displaystyle{ p+3}\) i \(\displaystyle{ 2p - 1}\) są kwadratami liczb całkowitych ?

30. Udowodnić, że wierzchołki i środki boków \(\displaystyle{ 2m+1}\) kąta można etykietować wszystkimi liczbami \(\displaystyle{ 1, …., 4m+2}\), aby sumy trójki na każdym boku były równe.
Baltic Way
31. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}}\) o elementach z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\) (\(\displaystyle{ p > 2}\) jest liczbą pierwszą) takich, że \(\displaystyle{ ad-bc=1 \ (\bmod{p} ) }\). Wykazać, że \(\displaystyle{ G}\) ma rząd \(\displaystyle{ p(p^2-1)}\) , a jej centrum \(\displaystyle{ Z}\) ma rząd 2. Udowodnić też, że jeśli \(\displaystyle{ p=7}\), to \(\displaystyle{ G/Z}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ H}\) (podgrupa \(\displaystyle{ S_7}\)) generowaną przez \(\displaystyle{ (1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7)}\) i \(\displaystyle{ (2 \ 6)(3 \ 4).}\)
32. Wyliczyć, jeśli istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} \ln(1+x^n) dx.}\)
33. Mając dane \(\displaystyle{ f (x+g(y)) = 2x+y-1 }\) wyliczyć \(\displaystyle{ g( x+ f(y)). }\)
34. Udowodnić elementatnie (trzy róże metody):
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b} \leq \frac{a}{ \sqrt{b} } + \frac{b}{\sqrt{a}}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b>0.}\)
35. Czy w gramatyce z regułami
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \rightarrow xy \\ ba \rightarrow y \\ b^2a \rightarrow z \end{cases}}\)
można ze słowa \(\displaystyle{ ba^4b^6a^4b}\) wywieść słowo o literach \(\displaystyle{ x, y ,z}\) ?
36. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \{ \sqrt{n+ \sqrt{n}} \} = \{ \sqrt{a} \},}\) to \(\displaystyle{ 4a+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
Uwagi: Tu \(\displaystyle{ a, n}\) są liczbami naturalnymi, zaś \(\displaystyle{ \{ \}}\) oznacza mantysę.
37. Udowodnić, że jeśli żadna ściana wielościanu o \(\displaystyle{ k}\) krawędziach nie jest trójkątem, to suma miar kątów płaskich tego wielościanu jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ k \pi .}\)

Dodano po 3 minutach 18 sekundach: Dodano po 37 minutach 25 sekundach: Dodano po 20 minutach 57 sekundach:
W 21 coś nie pasi.

34 iii) Dodano po 4 dniach 32 minutach 23 sekundach:
34 cd Dodano po 3 miesiącach 30 dniach 16 minutach 46 sekundach:
To Czarny Łabędź wśród Mixów....

33 Dodano po 6 minutach 27 sekundach:
8 cd Dodano po 1 godzinie 38 minutach 59 sekundach:
21 cd

W 21 coś nie pasi.

A czemu ...?

O, nowy (a jednak stary) mix!

11