Z A: idzie do B lub C z jednakowym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\); z B: idzie do A z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , do D z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i do E z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\); Z C: idzie do A z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), do D z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i do E też z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\); Z D: idzie do B z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), do C z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), i do E z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\); Z E: idzie do B, C lub D z jednakowym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Robot zaczyna w A.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 3 turach robot jest w pomieszczeniu E ?
2. Kolory na planszy
Dana jest kwadratowa szachownica pomalowana w kratkę. W każdym kolejnym ruchu można w dowolnym prostokącie, zbudowanym z niektórych pól zamienić wszystkie polory tych pól na przeciwne. Ile co najmniej ruchów trzeba wykonać, aby wszystkie pola miały ten sam kolor ?
powtórzone
3. Udowodnić, że na płaszczyźnie nie istnieją cztery różne punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\), takie, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC, BCD, CDA, DAB}\) są ostrokątne.
4. Niech dany będzie układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x(2- \frac{1}{2}y) \\ \frac{dy}{dt} = -y(1-\frac{1}{5}x) \end{cases} }\)
obrazujący zmiany populacji lisów \(\displaystyle{ y()}\) i zajęcy \(\displaystyle{ x()}\). Wyznaczyć punkty równowagi układu i zbadać ich stabilność oraz podać ich interpretację w kontekście populacji.
5. Na osi liczbowej wszystkie punkty, które można przedstawić jako \(\displaystyle{ 81x+100 y }\), gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) to liczby całkowite dodatnie pomalowano na czerwono, a pozostałe liczby całkowite: na niebiesko. Wykazać, że istnieje punkt \(\displaystyle{ P}\) taki, że dowolny punkt \(\displaystyle{ T \neq P}\) i jego obraz \(\displaystyle{ T^{\prime}}\) w symetrii względem \(\displaystyle{ P}\) są różnokolorowe.
Indie
6. Wewnątrz kuli o średnicy 6 jest skończona ilość mniejszych kul, których suma średnic jest równa 50 (mogą się one przecinać bądź też pokrywać). Wykazać, że dla każdej płaszczyzny istnieje taka płaszczyzna, która jest równoległa do niej i która przecina niepusto co najmniej 9 wewnętrznych kul .
математическое просвещепие
7. Na ile sposobów można pomalować niektóre z pól kwadratowej szachownicy tak, by liczba pomalowanych pól była: w każdym wierszu - parzysta, a w każdej kolumnie – nieparzysta ?
8. Jak rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^5 - 49 = (x+1)(49x-1)}\) ?
Hiszpania
9. Złodziej regularnie okrada sejfy w mieście. W każdym napadzie zabiera losową liczbę złotych sztabek \(\displaystyle{ X}\), która jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym:
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1−p)^{k−1} p}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,… }\).
Policja analizuje nagrania z \(\displaystyle{ n}\) niezależnych napadów i notuje liczby ukradzionych sztabek: \(\displaystyle{ X_1,X_2,…,X_n}\), które przyjmują wartości całkowite dodatnie.
Wyznaczyć estymator maksymalnej wiarygodności (MLE) parametru \(\displaystyle{ p}\) rozkładu geometrycznego na podstawie próby \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) oraz sprawdzić, czy ten estymator jest nieobciążony i wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję tego estymatora.
10. Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ e^x = 2+x^2}\) ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Zaproponować algorytm numeryczny, który pozwoli je przybliżyć. Czy można zastosować tu iterację \(\displaystyle{ x_{n+1} = g(x_n)}\) ?
11. Minimum
Jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są naturalne i \(\displaystyle{ \frac{43}{197} < \frac{a}{b} < \frac{17}{77} }\) to jaka jest najmniejsza możliwie wartość \(\displaystyle{ b}\) ?
powtórzone
12. Rozwiązać nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f (yf(x +y)+f(x)) = 4x+2yf(x+y). }\)
EGMO
13. Myśliwy i niewidzialny zając grają w grę na płaszczyźnie euklidesowej. Punkt startowy zająca \(\displaystyle{ A_0}\) oraz punkt startowy myśliwego \(\displaystyle{ B_0}\) są równe. Po \(\displaystyle{ n-1}\) ruchach gry zając znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ A_{n-1}}\) a myśliwy w punkcie \(\displaystyle{ B_{n-1}}\). W \(\displaystyle{ n}\) tej rundzie gry trzy zdarzenia zachodzą kolejno:
i) Zając pozostając niewidocznym przemieszcza się do dowolnego punktu \(\displaystyle{ A_n}\), leżącego w odległości dokładnie 1 od \(\displaystyle{ A_{n-1}. }\)
ii) Urządzenie namierzające wskazuje myśliwemu pewien punkt \(\displaystyle{ P_n }\), który jest zawsze odległy od \(\displaystyle{ A_n}\) nie dalej niż o \(\displaystyle{ 1}\).
iii) Myśliwy, pozostając widocznym przemieszcza się do punktu \(\displaystyle{ B_{n}}\) odległego o 1 od \(\displaystyle{ B_{n-1}.}\)
Czy myśliwy może zawsze wykonywać swoje ruchy tak, by niezależnie od ruchów zająca i punktów wskazywanych przez urządzenie po \(\displaystyle{ 10^{9}}\) rundach nie oddalić się od zająca dalej niż o 100 ?
14. Jak zwinąć wyrażenie \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \ln ( \prod_{k=0}^n (x+k)^{x+k} ) dx }\) ?
quora
15. Gramatyka generująca język słów nad alfabetem dwuliterowym z równą liczbą wystąpień obydwu liter jest taka:
\(\displaystyle{ S \to aSb | \ bSa | \ SS | \ ε .}\)
Czy gramatyka ta jest jednoznaczna? Jeśli nie: podaj przykładowe słowo, które ma co najmniej dwa różne drzewa wyprowadzeń.
16. Udowodnij, że w grafie pełnym \(\displaystyle{ K_n}\), którego wszystkie krawędzie pomalowane są w dowolny sposób dwoma kolorami istnieje jednokolorowe drzewo rozpinające (tzn. drzewo rozpinające składające się wyłącznie z krawędzi jednego koloru).
17. Czy dowolną liczbę naturalną można przedstawić w formie \(\displaystyle{ x^2+y^3+z^4}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y, z}\) to liczby całkowite ?
Jeśli nie - wskazać przykład liczby nieprzedstawialnej (w tej postaci).
Uwagi: Kod ułożony przez Chatgpt jest być może poprawny (np. dla \(\displaystyle{ N=222}\) jego rozwiązania to \(\displaystyle{ (4,5,3)}\) i \(\displaystyle{ (9,5,2)}\)).
18. Konstrukcja geometryczna
Dane są dwa okręgi współśrodkowe i punkt \(\displaystyle{ X}\) w dowolnym położeniu. Przedstawić konstrukcję trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ XYZ}\), takiego że \(\displaystyle{ Y}\) jest na jednym z tych okręgów, a \(\displaystyle{ Z}\) na drugim.
* Przemyśleć ewentualne możliwości uogólnienia konstrukcji, z analizą istnienia rozwiązania dla dowolnych okręgów (niekoniecznie współśrodkowych).
19. Przedstawić geometryczny dowód tożsamości \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} j(3j-1) = n^2(n+1).}\)
20. Mrówka i oktaedr
Mrówka wyrusza z dowolnego wierzchołka oktaedru i porusza się po nim w następujący sposób: W każdej jednostce czasu przemieszcza się do losowo wybranego sąsiedniego wierzchołka (czyli wzdłuż jednej z krawędzi wychodzących z wierzchołka, w którym się znajduje), z jednakowym prawdopodobieństwem (Mrówka nie zapamiętuje przeszłości).
Jaka jest wartość oczekiwana liczby kroków, zanim mrówka odwiedzi wszystkie wierzchołki oktaedru ?
(W wersji trudniejszej:) odwiedzi wszystkie krawędzie oktaedru ?
21. Wykaż lub obal:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są nieskończonymi podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{N} }\), to wtedy istnieje zbiór nieskończony \(\displaystyle{ C \subset \mathbb{N}}\) taki, że zbiory \(\displaystyle{ A \cap C}\) i \(\displaystyle{ B \cap C}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus C}\) są nieskończone.
22. Udowodnić, że istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f }\) zbiorów \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \}}\) i \(\displaystyle{ \{ n+1,…, 2n \}}\) taka, że \(\displaystyle{ j }\) i \(\displaystyle{ f(j)}\) są względnie pierwsze dla \(\displaystyle{ j=1, …,n}\).
23. Niech \(\displaystyle{ p \ge 5}\) będzie liczbą pierwszą ; \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \sum_{j=1}^{p-1} \frac{p-j}{j}}\) (ułamek nieskracalny).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ p^3}\) dzieli \(\displaystyle{ a-b+ pb}\).
24. Permutację \(\displaystyle{ p }\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\) nazywa się świeżą, jeśli nie istnieje \(\displaystyle{ k<n }\) takie, iż zbiory \(\displaystyle{ \{1,…,k \} }\) i \(\displaystyle{ \{ p(1),…,p(k) \} }\) są równe.
Ile jest świeżych permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego ?
The Mathematical Intelligencer
25. Jaka jest średnica najmniejszego z okręgów, którym można przykryć dowolny trójkąt o obwodzie równym 1 ?
26. Ciekawa teoria liczb
Niech \(\displaystyle{ f( n ) }\) będzie największym dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ p }\) liczby \(\displaystyle{ n }\).
Czy jeśli \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) są różnymi liczbami pierwszymi, to wtedy istnieje \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ f( n )=p }\) i \(\displaystyle{ f( n +1) =q }\) ?
Jeśli odpowiedź jest negatywna określić warunki, dla \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) przy których takie \(\displaystyle{ n }\) istnieje
27. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }\) będzie funkcją taką, że
i) \(\displaystyle{ |f(x)- f(y)| \le |x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\)
ii) \(\displaystyle{ f( f( f(0)))=0.}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ f( 0 ) = 0.}\)
Mongolia
28. Wyznaczyć dla jakich funkcji f zachodzi równanie ‘rozdzielające’:
\(\displaystyle{ f(x+y,x-y) = f(x,y)+ f(y,x)}\)
dla \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}. }\)
29. Wykaż lub obal:
Istnieje nieskończona liczba prostych w geometrii trójkątnej spirali Klaubera, wzdłuż których leżą wyłącznie liczby pierwsze lub wzdłuż których jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.
* Znajdź też wszystkie proste w tej spirali, dla których gęstość liczb pierwszych wzdłuż tej prostej jest większa niż gęstość w całym trójkącie.
30. Układ
Z liczbą naturalną \(\displaystyle{ n }\) skojarzony jest układ:
\(\displaystyle{ S(n) \\ \begin{cases} x^2+ ny^2= z^2 \\ nx^2+y^2=t^2 \end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ x, y, z, t}\) są to liczby naturalne.
Niech \(\displaystyle{ n \in M_1}\) jeśli układ \(\displaystyle{ S(n)}\) ma nieskończoną ilość rozwiązań, zaś \(\displaystyle{ n \in M_2}\) jeśli układ \(\displaystyle{ S(n)}\) nie ma rozwiązań.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 7 \in M_1}\) i \(\displaystyle{ 10 \in M_2}\) oraz że zbiory \(\displaystyle{ M_1}\) i \(\displaystyle{ M_2}\) są nieskończone
Rumunia
Komentarze
Ukryta treść:
A czemu tak mało odpowiedzi w ankiecie...? 
