Matematyka.pl

Zadanie 22.

W tym wypadku wystarczy zauważyć , że muszą być spełnione dwa warunki, żeby taka bijekcja była

Ale najpierw cos zapiszmy:

niech:

\(\displaystyle{ X=\left\{2, 3, 4,...,n\right\} ; Y=\left\{ n+1, n+2,...,2n\right\} ; P=\left\{ 2,3,...,p_{k}\right\} }\)

\(\displaystyle{ P}\) - to podzbiór liczb pierwszych wszystkich ze zbioru \(\displaystyle{ X}\)

1. Niech teraz :

\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2},... , a_{s} \in X}\) - to zbiór takich liczb, które mają ten sam zbiór liczb:

\(\displaystyle{ b_{1}, b_{2},..., b_{r} \in Y}\) z którymi są względnie pierwsze, czyli:

\(\displaystyle{ \left( a_{i}, b_{j}\right) =1}\)

z obserwacji widać, że:

\(\displaystyle{ s \le r}\)

2. Istnieje co najwyżej jedna liczba: \(\displaystyle{ y \in Y}\)

taka, że dla każdej: \(\displaystyle{ x \in X}\) \(\displaystyle{ (x,y)=d>1}\)

załóżmy, że istnieje dwie różne takie liczby:

\(\displaystyle{ y_{1}, y_{2} \in Y}\)

ale wtedy \(\displaystyle{ y_{1}}\) musi być np. tą mniejszą oraz być iloczynem wszystkich liczb pierwszych ze zbioru \(\displaystyle{ P}\)

a \(\displaystyle{ y_{2} }\) musi być przynajmniej większą dwa razy od \(\displaystyle{ y_{1}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ y_{2}>2 \cdot y_{1}}\)

co jak widać, liczba \(\displaystyle{ y_{2}}\) wylatuje poza (na prawo) zbiór \(\displaystyle{ Y}\)

Więc jak widać może być co najwyżej jedna liczba \(\displaystyle{ y}\) z którą każda: \(\displaystyle{ x \in X}\) ma:

\(\displaystyle{ (x,y)=d>1}\)

ale wtedy bierzemy dla tego własnie \(\displaystyle{ y}\) dotąd nie używaną jedynkę i otrzymamy:

\(\displaystyle{ (1,y)=1}\)

cnd...

zad 24 permutacja świeża...

otóż najpierw analizowałem jak wyglądają świeże permutacje , rozbijałem je na cykle i wyszło mi że np.:

jeżeli tam gdzie jest w cyklu jedynka to jeżeli w tym samym cyklu będzie również n to permutacja będzie świeża...

np.: \(\displaystyle{ (1, a,b,c,...,n)}\)

ale nie tylko w rozbiciu na cykle świeża permutacja gdzie jedynka nie jest w tym samym cyklu co n może być np. taka:

\(\displaystyle{ n=5}\)

\(\displaystyle{ (1,2,4) (3,5)}\)

Musi być wiec tak ,żeby w następnym cyklu znalazł się element mniejszy od największego elementu w cyklu pierwszym , w tym przykładzie: \(\displaystyle{ 3<4}\), jeżeli będzie więcej cykli to ten warunek musi się powtarzać, więc zrezygnowałem
z liczenia permutacji świeżych bo to wyjątkowo wredna robota...

postawiłem na nieświeże...

ale najpierw wypiszę wszystkie permutacje świeże dla: \(\displaystyle{ n=2,3}\) ( w formie cyklicznej)

dla: \(\displaystyle{ n=1}\) jest ich zero

\(\displaystyle{ n=2 , \left\{ 1,2\right\} }\):

\(\displaystyle{ (1,2)}\) - tyle

\(\displaystyle{ n=3 , \left\{ 1,2,3\right\} }\)

\(\displaystyle{ (1,2,3) | (1,3,2)| (1,3)(2)}\)

widać jak to działa...

teraz policzmy nieświeże:

np:

\(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ nss, nns}\)

\(\displaystyle{ n}\)- nieświeża, \(\displaystyle{ s}\) - świeża

działa to tak:

\(\displaystyle{ 1! \cdot 2!+\left( 2!-1!\right) \cdot 1!=3}\)

zatem świeżych będzie:

\(\displaystyle{ 6!-3=3}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\):

\(\displaystyle{ 1! \cdot 3!+\left( 2!-1!\right) \cdot 2!+\left( 3!-2!+1!\right) \cdot 1!=13}\)

zatem świeżych jest:

\(\displaystyle{ 4!-13=11}\)

nietrudno to uogólnić:

działa tu zasada włączania i wyłączania jak widać...

\(\displaystyle{ a_{n}}\) - ilość świeżych permutacji:

\(\displaystyle{ a_{n}=n!- \sum_{k=1}^{n-1} \left[ \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^i(k-i)! \right) (n-k)!\right] }\)

zad 28:

\(\displaystyle{ f(x,y)=ax}\)

\(\displaystyle{ f(y,x)=ay}\)