23:
Zakładając, że chodzi o ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}= \frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3} - a_{n-1}} \\ a_0=2 \end{cases}}\)
to jego wyrazami są:
\(\displaystyle{ a_{6k}=2\\
a_{6k+1}=-8-5 \sqrt{3} \\
a_{6k+2}= \frac{-8-5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+3}= \frac{-1}{2} \\
a_{6k+4}= \frac{-8+5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+5}=-8+5 \sqrt{3}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ a_{2019}=a_{6 \cdot 336+3}= \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}= \frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3} - a_{n-1}} \\ a_0=2 \end{cases}}\)
to jego wyrazami są:
\(\displaystyle{ a_{6k}=2\\
a_{6k+1}=-8-5 \sqrt{3} \\
a_{6k+2}= \frac{-8-5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+3}= \frac{-1}{2} \\
a_{6k+4}= \frac{-8+5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+5}=-8+5 \sqrt{3}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ a_{2019}=a_{6 \cdot 336+3}= \frac{-1}{2}}\)
29 ?:
Trójki spełniające warunki zadania to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-a}{b} , \frac{b}{c} , \frac{c}{a} \right) , \left( \frac{-a}{b} , \frac{-b}{c} , \frac{-c}{a} \right) \text{ dla } a,b,c \in Z \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Wyjątki których nie obejmują powyższe trójki:
\(\displaystyle{ (1,1,1), (1,-1,-1), (1,2, \frac{1}{2}), (-1,-2, \frac{1}{2}), (-1,2, \frac{-1}{2}), (1,-2, \frac{-1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{-a}{b} , \frac{b}{c} , \frac{c}{a} \right) , \left( \frac{-a}{b} , \frac{-b}{c} , \frac{-c}{a} \right) \text{ dla } a,b,c \in Z \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Wyjątki których nie obejmują powyższe trójki:
\(\displaystyle{ (1,1,1), (1,-1,-1), (1,2, \frac{1}{2}), (-1,-2, \frac{1}{2}), (-1,2, \frac{-1}{2}), (1,-2, \frac{-1}{2})}\)