[MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5856
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2403 razy
Pomógł: 648 razy

[MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: mol_ksiazkowy » 2 sty 2019, o 14:43

1. Niech \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f \left( f \left( n \right) \right) = 3n}\) oraz \(\displaystyle{ f \left( n+1 \right) > f \left( n \right)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ f \left( 2019 \right)}\).

2. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest ograniczoną figurą na płaszczyźnie i mającą środek symetrii, to środek ten jest punktem stałym każdej izometrii własnej tej figury.

3. W ciągu \(\displaystyle{ f_n = 2f_{n-1 } - f_{n-2}+ 2}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\), \(\displaystyle{ f_0=1}\) oraz \(\displaystyle{ f_1}\) jest dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f_kf_{k+1}}\) też jest wyrazem tego ciągu dla dowolnego całkowitego \(\displaystyle{ k \geq 0}\) .

4. Spośród \(\displaystyle{ 1600}\) osób utworzono \(\displaystyle{ 16000}\) grup (komitetów) w każdym było \(\displaystyle{ 80}\) osób. Udowodnić że istnieją dwa komitety w których są nie więcej niż \(\displaystyle{ 4}\) te same osoby.

5. Na ile sposobów można rozmieścić liczby \(\displaystyle{ -1, 0, 1}\) na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\), tj. na każdym polu jest dokładnie jedna z tych liczb; tak aby suma wszystkich liczb na dowolnej najkrótszej drodze wieży szachowej z lewego górnego do prawego dolnego rogu była równa zeru ?

6. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma tę własność iż \(\displaystyle{ \frac{27 f \left( -x \right) }x{} - x^2 f \left( \frac{1}{x} \right) = -2x^2}\) gdy \(\displaystyle{ x\neq 0}\) . Wyznaczyć \(\displaystyle{ f \left( 3 \right)}\).

7. Rzucamy równocześnie trzema kostkami do gry dopóki na wszystkich z nich nie wypadnie ta sama liczba oczek. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

8. Wyznaczyć wszystkie silnie rosnące funkcje \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \RR}\) o tej własności że jeśli \(\displaystyle{ m, n}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi to istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ f \left( k \right) = f \left( m \right) - f \left( n \right)}\).

9. Wyznaczyć liczby całkowite \(\displaystyle{ r, s}\) gdzie \(\displaystyle{ 0< s< 200}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{45}{61}> \frac{r}{s} > \frac{59}{80}}\). Czy rozwiązanie jest jedyne ?

10. Ptyś i Balbinka grają w grę: na zmianę rysują przekątne \(\displaystyle{ 2n}\) kąta foremnego, ale tak, by nie miały punktów wspólnych z dotychczas narysowanymi przekątnymi. Przegrywa ten, który nie może narysować już żadnej przekątnej. Zaczyna Ptyś, kto ma strategię wygrywającą ?

11. Udowodnić, że jeżeli wszystkie ściany wielościanu są czworokątami, to ma on sześć ścian.

12. Niech \(\displaystyle{ X = \left\{ 1,…, 8 \right\}}\). Wyznaczyć maksymalną liczność rodziny trzyelementowych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), takich że część wspólna dowolnych dwóch z nich nie jest zbiorem dwuelementowym.

13. Na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) należy umieścić jak najwięcej gońców ale tak, by na każdej przekątnej było co najwyżej trzy gońce. Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ n=8}\) maksymalna liczba gońców to \(\displaystyle{ 38}\) i rozwiązać ten problem dla \(\displaystyle{ n =7}\) i \(\displaystyle{ n=9}\).

14. Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{10} \frac{1+10x}{1-10x}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) + f ^2 \left( \frac{1}{2} \right) +…+ f^{2019} \left( \frac{1}{2} \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ f^k}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\) tą iterację \(\displaystyle{ f}\).

15. Udowodnić, że ilość ciągów binarnych \(\displaystyle{ a_1,…,a_n}\), w których jest dokładnie \(\displaystyle{ m}\) sekwencji \(\displaystyle{ 01}\) jest równa \(\displaystyle{ {n+1 \choose 2m+1}}\).

16. Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) ciąg

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= 1+ ba_n \\ a_1=a \end{cases}}\)

jest zbieżny ?

17. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianów \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) i \(\displaystyle{ W^\prime \left( x \right)}\) jeśli \(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( 1-x-x^2 \right) ^3 \left( 1-3x+x^2 \right) ^2}\).

18. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a+b=1}\) oraz \(\displaystyle{ a, b \geq 0}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b}+ \sqrt{b^2+a} + \sqrt{1+ab} \leq 3}\) .

19. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \tg^2 \left( x \right) + 2\ctg^2 \left( 2y \right) = 1\\ \tg^2 \left( y \right) + 2\ctg^2 \left( 2z \right) = 1 \\ \tg^2 \left( z \right) + 2\ctg^2 \left( 2x \right) = 1. \end{cases}}\)

20. Udowodnić, że dla ciągu
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( 3-a_{n+1} \right) \left( 6+a_n \right) = 18 \\ a_0=3 \end{cases}}\)
zachodzi równość \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^n \frac{1}{a_j} = \frac{1}{3} \left( 2^{n+2} -n -3 \right)}\) .

21. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x + \sqrt{x \left( x+1 \right) } +\sqrt{x \left( x+2 \right) }+ \sqrt{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) } = 2}\).

22. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ n^2+ 59n +881}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

23. Określony jest ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= \frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3} - a_{n-1}} \\ a_0=2 \end{cases}}\)
Przedstawić \(\displaystyle{ a_{2019}}\) w formie \(\displaystyle{ p + q \sqrt{3} \in Q \left( \sqrt{3} \right)}\).

24. Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{x}-x}\) jest bijekcją zbiorów \(\displaystyle{ \left( 0, +\infty \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( -\infty, +\infty \right)}\).

25. Rozwiązać równanie w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^{x+1}= \left( 1+ \frac{1}{2019} \right) ^{2019}}\).

26. We wszystkie pola nieskończonej szachownicy wpisano kolejne liczby naturalne (spiralnie i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Udowodnić, że
i) kwadraty liczb nieparzystych są na jednej diagonali;
ii) istnieje półprosta taka, że liczby na wszystkich jej polach nie są wielokrotnościami \(\displaystyle{ 3}\)
półprosta to dowolne pole i wszystkie pola na prawo od niego (z tego samego rzędu).

27. Rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} > \frac{x-1}{x}.}\)

28. Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) zachodzi twierdzenie:
Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych to także \(\displaystyle{ mk}\) jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych ?

29. Wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ n, m, p \in \QQ}\) takie, aby każda z liczb \(\displaystyle{ m+ \frac{1}{np}, n+ \frac{1}{mp}, p+ \frac{1}{nm}}\) była całkowita.

30. Czy równanie \(\displaystyle{ x^2+ 2019 =2^n}\) ma całkowitoliczbowe rozwiązania?
Ostatnio zmieniony 2 sty 2019, o 14:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nie oszczędzaj na kropkach.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav » 2 sty 2019, o 15:03

22.:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17157
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2883 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: a4karo » 2 sty 2019, o 15:06

17:    
24:    
Ostatnio zmieniony 2 sty 2019, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav » 2 sty 2019, o 15:13

6.:    
30.:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17157
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2883 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: a4karo » 2 sty 2019, o 15:46

9:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7245
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2875 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs » 2 sty 2019, o 15:57

11:    
.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav » 2 sty 2019, o 16:04

18.:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17157
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2883 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: a4karo » 2 sty 2019, o 16:24

16:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav » 2 sty 2019, o 17:02

20.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7245
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2875 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs » 2 sty 2019, o 17:36

5 (chyba):    
10:    
Ostatnio zmieniony 2 sty 2019, o 18:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav » 2 sty 2019, o 18:16

14.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7245
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2875 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs » 2 sty 2019, o 18:28

7:    

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PoweredDragon » 2 sty 2019, o 18:42

1:    

Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 21 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: xxDorianxx » 2 sty 2019, o 19:10

Część zadania 17:
Ukryta treść:    

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PoweredDragon » 2 sty 2019, o 19:44

24:    
-- 2 sty 2019, o 21:00 --
17_Reszta:    
-- 2 sty 2019, o 21:15 --
25:    

ODPOWIEDZ