Mam nadzieję, że nie będą zbyt łatwe:
1.Dany jest pięciokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCDE}\). Wykazać, że suma pól pewnych czterech spośród trójkątów \(\displaystyle{ ABC , BCD ,CDE ,DEA ,EAB}\) jest większa od pola pięciokąta \(\displaystyle{ ABCDE}\).
2.Każdy punkt przestrzeni został pomalowany na jeden z trzech kolorów. Udowodnić, że istnieje taki kolor, powiedzmy \(\displaystyle{ X}\), że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r>0}\) istnieje odcinek długości \(\displaystyle{ r}\) o końcach koloru \(\displaystyle{ X}\).
3.Udowodnić, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ D}\) różnych liczb naturalnych o mocy \(\displaystyle{ 2009}\) spełniający warunek : \(\displaystyle{ a,b \in D \Rightarrow a-b|a+b}\).
4.Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Udowodnić, że środki okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABC ,BCD ,CDA ,DAB}\) są wierzchołkami prostokąta.
limes123 pisze:Skoro 4 juz bylo to dodam cos czego chyba jeszcze nie bylo.
Jesli oznaczymy promienie tych okregow wpisanych kolejno przez \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c,r_d}\) to udowodnic, ze \(\displaystyle{ r_a+r_c=r_b+r_d}\).
5.Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) przekształcająca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych taka, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi : \(\displaystyle{ f(f(n))=n^2}\) ?
6.Wśród 1025 miast każde dwa są połączone jedną z dziesięciu linii lotniczych. Udowodnić, że można zrobić 'wycieczkę' która się zaczyna i kończy w tym samym mieście a przy okazji jej długość jest liczbą nieparzystą (długość to ilość bezpośrednich przelotów z jednego miasta do innego).
7.Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ 5^n}\) ma w swoim zapisie dziesiętnym co najmniej miliard zer pod rząd.
8.Liczby \(\displaystyle{ x,y, \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) są całkowite. Udowodnić, ze \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) jest sześcianem liczby całkowitej.
9.Dany jest odcinek długości \(\displaystyle{ a}\) ,okrąg z zaznaczonymi dwoma niemającymi punktów wspólnych cięciwami \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Skonstruować na łuku \(\displaystyle{ CD}\) (niezawierającym punktów \(\displaystyle{ A,B}\)) taki punkt \(\displaystyle{ X}\), że odcinki \(\displaystyle{ AX,BX}\) wycinają w odcinku \(\displaystyle{ CD}\) odcinek długości \(\displaystyle{ a}\) (zakładamy, że taki punkt istnieje, tj. \(\displaystyle{ a}\) nie jest zbyt duże).
10.Na każdym polu nieskończonej szachownicy napisano liczbę całkowitą, przy czym wszystkie napisane liczby są różne. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ d}\) istnieją dwa pola mające wspólnych bok, że różnica liczb na nich napisanych jest większa niż \(\displaystyle{ d}\).
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem, pozdrawiam
