3:
Skoro piony z linii A mają być odseparowanie, to na odcinku między pionami A1 i A8 powinno istnieć 7 punktów, przez które będą przechodziły proste separujące te pola. Analogicznie jest dla pionów z linii: H, 1 i 8. Daje to 28 punktów. Nie istnieje prosta niezawierająca odcinka A1-A8 lub A1-H1 lub H8-A8 lub H8-H1 , która mogłaby przechodzić przez więcej niż dwa z tych 28 punktów. Ergo, potrzeba co najmniej 14 prostych do cięcia szachownicy
8:
Na każdym z pól istnieją cztery obszary sprzyjające. To trójkąty krzywoliniowe o bokach r,r i ćwiartki okręgu o promieniu r, leżące w każdym czterech rogów każdego pola.
Przykład położenia jednego takiego trójkąta w kwadracie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(0,a),(a,a),(a,0)}\) to obszar spełniający nierówności \(\displaystyle{ (x \le r ) \wedge (y \le r) \wedge (x^2+y^2 \ge r^2)}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{4r^2- \pi r^2}{a^2} }\)
Przykład położenia jednego takiego trójkąta w kwadracie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(0,a),(a,a),(a,0)}\) to obszar spełniający nierówności \(\displaystyle{ (x \le r ) \wedge (y \le r) \wedge (x^2+y^2 \ge r^2)}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{4r^2- \pi r^2}{a^2} }\)