Niech a,b to beda liczby naturalne. Prostokat o bokach a, b podzielono - prostymi rownoleglymi bo boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnetrza ilu kwadratów przechodzi przekatna prostokata?
* To samo w wersji przestzrennej- mamy prostopadloscian o bokach a,b,c i rozcinamy go na kostki szescienne jednostkowe, ?!
[Kombinatoryka] Przeciecie przekatna
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
Trol-24-11-2025
Re: [Kombinatoryka] Przeciecie przekatna
\(\displaystyle{ (a,b)=d = \NWD(a,b)}\)
Można zauważyć z obserwacji, że przekątna wewnątrz kwadratu nie przechodzi przez punkty kratowe wtedy, gdy
\(\displaystyle{ d=1}\)
a dla dowolnych a, b będzie osiągać punkty kratowe tam , gdzie będzie:
\(\displaystyle{ l \cdot \frac{a}{d} , l \cdot \frac{b}{d} , l=1,2,3,...,d}\)
więc dla podprostokąta o bokach:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d} ,\frac{b}{d}}\) wystarczy zliczyć wszystkie kwadraty pionowo i poziomo i odjąć jeden(bo się powtarza), żeby otrzymać szukaną ilość kwadratów, przez które przechodzi przekątna, więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1}\)
więc ogólnie będzie:
\(\displaystyle{ d \cdot \left( \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1\right) =a+b-(a,b)}\)
Jak widać zaczynam odkopywać trupy, które ktoś zakopał...(nie powiem kto bo świnie ryją)
Można zauważyć z obserwacji, że przekątna wewnątrz kwadratu nie przechodzi przez punkty kratowe wtedy, gdy
\(\displaystyle{ d=1}\)
a dla dowolnych a, b będzie osiągać punkty kratowe tam , gdzie będzie:
\(\displaystyle{ l \cdot \frac{a}{d} , l \cdot \frac{b}{d} , l=1,2,3,...,d}\)
więc dla podprostokąta o bokach:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d} ,\frac{b}{d}}\) wystarczy zliczyć wszystkie kwadraty pionowo i poziomo i odjąć jeden(bo się powtarza), żeby otrzymać szukaną ilość kwadratów, przez które przechodzi przekątna, więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1}\)
więc ogólnie będzie:
\(\displaystyle{ d \cdot \left( \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1\right) =a+b-(a,b)}\)
Jak widać zaczynam odkopywać trupy, które ktoś zakopał...(nie powiem kto bo świnie ryją)