Matematyka.pl

!Nie liczę zera jako liczby naturalnej!
Pytanie jest następujące:
Czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ r_n}\) taki, że \(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb N: r_n \in \mathbb N \wedge r_n\le r_{n+1}}\), i taki, że istnieje nieskończenie wiele ciągów \(\displaystyle{ (a_{i_n})}\) takich, że \(\displaystyle{ \forall i, n \in \mathbb N: a_{i_n} \in \mathbb N \wedge a_{i_{n+1}} = a_{i_n}+r_n}\), i ciągi te nie mają ani jednego parami wspólnego wyrazu (innymi słowy, niech \(\displaystyle{ A_i}\) będzie zbiorem wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_{i_n})}\), wówczas \(\displaystyle{ \forall i, j \in \mathbb N: A_i \cap A_j = \emptyset}\))

Tak, istnieje taki ciąg. Niech \(\displaystyle{ r_n = 4^n}\) i \(\displaystyle{ a_{i_0} = 2 \cdot 4^i}\). Zauważmy, że jeśli zapiszemy te ciągi binarnie, to ciąg \(\displaystyle{ r}\) ma jedynki na nieparzystych pozycjach. Sumując kolejne elementy ciągu \(\displaystyle{ r}\) również otrzymujemy liczby z jedynkami na nieparzystych pozycjach. Z tego wynika, że każdy ciąg $a_i$ będzie miał jedynki na nieparzystych pozycjach i tylko jedną jedynkę na parzystej. Ponieważ ta parzysta pozycja jest różna dla każdego i to żaden z tych ciągów nie będzie miał wspólnego elementu.