Matematyka.pl

Udowodnij, że dowolną łamaną zamkniętą na płaszczyźnie można przekształcić w wielokąt wypukły zmieniając jedynie położenie wierzchołków, ale nie zmieniając długości odcinków łamanej.
-------
Nie, to nie jest żart. Wygrywa najzgrabniejszy i najkrótszy, ale zarazem kompletnie formalny dowód.

szw1710,
Doskonale, czyli metoda odbijania wierzchołków symetrycznie przy kątach wklęsłych?
Jeśli tak, to chętnie zobaczyłbym dowód

podejście szw1710 w zasadzie się narzuca, to był też mój pierwszy pomysł

próba sformalizowania może wyglądać tak: dla łamanej zamkniętej \(\displaystyle{ w}\), która ogranicza wielokąt wklęsły, definiujemy łamaną \(\displaystyle{ \mathcal{SZ}(w)}\), która powstaje z \(\displaystyle{ w}\) następująco: wybieramy odcinek \(\displaystyle{ PQ}\) będący bokiem otoczki wypukłej \(\displaystyle{ w}\), który nie jest jednym z odcinków łamanej \(\displaystyle{ w}\) i odbijamy część łamanej pomiędzy \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) względem \(\displaystyle{ PQ}\); otrzymujemy w ten sposób nową łamaną \(\displaystyle{ \mathcal{SZ}(w)}\)

należałoby jeszcze uzasadnić, że wielokrotne stosowanie operacji \(\displaystyle{ \mathcal{SZ}}\) musi się zakończyć, tj. po skończonej liczbie kroków otrzymamy łamaną będącą brzegiem wielokąta wypukłego - można np. zauważyć, że pole wielokąta ograniczonego łamaną \(\displaystyle{ \mathcal{SZ}(w)}\) jest większe niż pole wielokąta ograniczonego łamaną \(\displaystyle{ w}\)

nie widzę jednak jak szybko uzasadnić, że tego pola nie można zwiększać w nieskończoność

to podejście jest o tyle złe, że nie działa w przypadku łamanych mających samoprzecięcia

inny pomysł, który przyszedł mi do głowy wzoruje się na , tj. na podzieleniu łamanej na trzy łamane, których długości są bokami trójkąta, zbudowaniu tego trójkąta, a następnie machnięciu wszystkiego o \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{1710}}\) tak, aby powstał wielokąt wypukły o bokach takich jak trzeba - istnienie tego machnięcia jednak też wymaga uzasadnienia

timon92,
Wspaniale! Ale może ktoś wpadł na jeszcze lepsze rozwiązanie, niż to timona?

Przypuśćmy, że łamana składa się z odcinków materialnych. Wieszamy najdłuższy odcinek tego "łańcuszka" poziomo, a reszcie pozwalamy swobodnie opaść. To, co powstanie będzie wypukłe

Można też dla danego \(\displaystyle{ r}\) większego niż największy odcinek łamanej rozważyć okrąg o średnicy \(\displaystyle{ r}\) i po kolei od pewnego jego punktu odkładać odcinki łamanej na tym okręgu i patrzeć, ile razy ta łamana obiegnie okrąg. Możemy to potraktować jako ciągłą funkcję \(\displaystyle{ r}\), która dla tej największej średnicy przyjmuje wartość większą od 1, a w nieskończoności zbiega do zera, stąd z Darboux gdzieś tą jedynkę przyjmie. A skoro wielokąt wpisany w okrąg jest wypukły...