Matematyka.pl

Przerażony zając podskakuje,wznosząc się na wysokość h=0,544 w ciągu pierwszych 0,2sekundach skoku.
a)Z jaką początkową prędkością oderwał się on od ziemi?
b)Ile wynosi jego prędkość na wysokość 0,544 m?
Dlaczego nie mogę skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ x-x_0= \frac{1}{2}(v_0+v)t}\) podstawiając za \(\displaystyle{ v=0 }\)i za \(\displaystyle{ x-x_0 }\)\(\displaystyle{ y }\)

Dodano po 1 minucie 29 sekundach:
W podpunkcie a) chcę użyć tego wzoru

"Spadek swobodny zadania" ???
Zadanie nie może spadać swobodnie

Analiza zadania

Pomijamy opór powietrza. Przyjmujemy układ współrzędnych z osią \(\displaystyle{ Oy }\) zwróconą ku górze.

Wtedy przyśpieszenie zająca - szaraka \(\displaystyle{ a = -g = -9,8 \frac{m}{s^2}. }\)

Rozwiązanie

a)

Z równania drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\(\displaystyle{ h = v_{0}t - \frac{gt^2}{2} }\),

gdzie

\(\displaystyle{ h = 0,544 \ \ m, \ \ t = 0,200 \ \ s, }\)

znajdujemy prędkość początkową zająca

\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{h + \frac{1}{2}g \cdot t^2}{t}, }\)

\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{0,544 (m) + \frac{1}{2}\cdot 9,8 \left(\frac{m}{s^2} \right) \cdot (0,200)^2 (s^2)}{0,200 (s)} = 3,70 \frac{m}{s}. }\)

b)

Prędkość zająca na wysokości \(\displaystyle{ h = 0,544 \ \ m }\) wynosi:

\(\displaystyle{ v = v_{0} - g\cdot t, }\)

\(\displaystyle{ v = 3,70\left( \frac{m}{s^2} \right) - 9,8\cdot 0.200 (s) = 1,74 \frac{m}{s}. }\)

A dlaczego nie można tego zrobić ze wzoru podanego przezemnie?

Analiza zadania

Pomijamy opór powietrza. Przyjmujemy układ współrzędnych z osią \(\displaystyle{ Oy }\) zwróconą ku górze.

Wtedy przyśpieszenie zająca - szaraka \(\displaystyle{ a = -g = -9,8 \frac{m}{s^2}. }\)

Rozwiązanie

a)

Z równania drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\(\displaystyle{ h = v_{0}t - \frac{gt^2}{2} }\),

gdzie

\(\displaystyle{ h = 0,544 \ \ m, \ \ t = 0,200 \ \ s, }\)

znajdujemy prędkość początkową zająca

\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{h + \frac{1}{2}g \cdot t^2}{t}, }\)

\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{0,544 (m) + \frac{1}{2}\cdot 9,8 \left(\frac{m}{s^2} \right) \cdot (0,200)^2 (s^2)}{0,200 (s)} = 3,70 \frac{m}{s}. }\)

b)

Prędkość zająca na wysokości \(\displaystyle{ h = 0,544 \ \ m }\) wynosi:

\(\displaystyle{ v = v_{0} - g\cdot t, }\)

\(\displaystyle{ v = 3,70\left( \frac{m}{s} \right) - 9,8 \left( \frac{m}{s^2}\right) \cdot 0.200 (s) = 1,74 \frac{m}{s}. }\) (korekta)

Dodano po 31 minutach 54 sekundach:
Pani wzór na drogę, wykorzystujący prędkość średnią jest niewłaściwy, bo opisuje ruch ciała jednostajny - prostoliniowy.

Szarak skacze ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

Jak chciała Pani wykorzystać prędkość średnią

\(\displaystyle{ v_{sr} = \frac{1}{2}(v_{0} + v), }\)

to należało podstawić do tego równania za \(\displaystyle{ v }\) prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\(\displaystyle{ v = v_{0} + a\cdot t. }\)

Otrzymujemy wtedy wzór na prędkość średnią w ruchu jednostajnie przyśpieszonym,

\(\displaystyle{ v_{sr} = v_{0} + \frac{1}{2}a\cdot t. }\)

Wstawiając prędkość średnią do wzoru:

\(\displaystyle{ y = y_{0} + v_{sr} \cdot t }\)

otrzymamy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyśpieszonym:

\(\displaystyle{ y - y_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2}a\cdot t^2}\)

Podstawiając w tym wzorze:

\(\displaystyle{ h := y - y_{0}, \ \ a := -g }\)

otrzymujemy wzór opisujący skok zająca

\(\displaystyle{ h = v_{0}\cdot t -\frac{1}{2}g \cdot t^2.}\)

Jeszcze jeden podpunkt do tego zadania jak dużo się jeszcze wzniesie? Dlaczego jak podstawiam pod \(\displaystyle{ V^2=V_0^2+2a(x-x_0)}\) to mi nie wychodzi. Z zasady zachowania energii nie mogę tego zrobić, bo jeszcze tego nie braliśmy:)

c)

Analiza zadania

Skok zająca nadal odbywa się ze stałym przyśpieszeniem \(\displaystyle{ a = -g . }\)

Z jednego z równań opisujących ruch jednostajnie przyśpieszony (namawiam do wyprowadzenia tego równania) wynika, że

\(\displaystyle{ v^2_{1} = v^2_{0} +2 a\cdot ( y - y_{0}) \ \ (*) }\)

Przyjmujemy \(\displaystyle{ y_{0} = 0 }\) - poziom Ziemi i \(\displaystyle{ a = - g. }\)

Rozwiązanie

Z równania \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ v^2_{1} = v^2_{0} -2g( y-0) = v^2_{0} -2g\cdot y \ \ (**) }\)

Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ (**) }\) dla maksymalnej wysokości skoku szaraka \(\displaystyle{ y_{max},}\), dla której \(\displaystyle{ v_{1} = 0 }\)

Z równania \(\displaystyle{ (**) }\)

\(\displaystyle{ 0 = v^2_{0} - 2g\cdot y_{max}, }\)

\(\displaystyle{ y_{max} = \frac{v^2_{0}}{2g}, }\)

\(\displaystyle{ y_{max} = \frac{(3,7)^2 \left(\frac{m^2}{s^2}\right)}{2\cdot 9,80 \left(\frac{m}{s^2}\right)} = 0,698 m.}\)

Zając wzniesie się jeszcze wyżej podczas skoku o wysokość:

\(\displaystyle{ \Delta h = y_{max} - h, }\)

\(\displaystyle{ \Delta h = 0,698(m) - 0,544(m) = 0,154 m.}\)

Proszę o pomoc. Z jaką prędkością należy rzucić piłkę z ziemi pionowo do góry , aby jej maksymalne wzniesienie wyniosło \(\displaystyle{ h=50 m}\). Jak długo będzie ona w powietrzu?
Naszkicuj wykres zależności \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ t}\) dla tej piłki. Na pierwszych dwóch wykresach zaznacz chwilę w której piłka osiąga wysokość \(\displaystyle{ 50m}\).

Analiza zadania

Zakładamy, że lot piłki w górę i w dół odbywa się bez oporu powietrza z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ a = -g = -9,8 \frac{m}{s^2}. }\)

W najwyższym punkcie prędkość piłki \(\displaystyle{ v = 0 \frac{m}{s}, }\)

i przyjmując poziom Ziemi \(\displaystyle{ y_{0} = 0 }\)

równanie

\(\displaystyle{ v^2 - v^2_{0} = 2a\cdot (y -y_{0}) \ \ (1)}\)

ma postać

\(\displaystyle{ 0^2 -v^2_{0} = -2g \cdot (y - 0) \ \ (2)}\)

Rozwiązanie

a)

Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ v^2_{0} = 2g\cdot \cdot y }\)

\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt{ 2g \cdot y} }\)

\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt{2\cdot 9,8 \left( \frac{m}{s^2} \right)\cdot 50(m)} = 31\ \ \frac{m}{s}.}\)

Piłkę należy rzucić z prędkością początkową \(\displaystyle{ 31 \frac{m}{s}. }\)

b)

Piłka będzie w locie do momentu aż osiągnie ponownie poziom Ziemi

\(\displaystyle{ y = 0}\)

Z równania drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\(\displaystyle{ y = v_{0} \cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ 0 = v_{0} \cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{2v_{0}}{g} }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{2\cdot 31\left(\frac{m}{s}\right)}{9,8 \left(\frac{m}{s^2} \right)} = 6,4 \ \ s.}\)

Piłka będzie w powietrzu \(\displaystyle{ t = 6,4 \ \ s.}\)

c)

Rysunek 1 wykres na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oty, \ \ y(t):}\)

Parabola zwrócona ramionami w dół o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ W = ( 3,2 s, \ \ 50m.) }\) o szerokości ramion \(\displaystyle{ t = 0,\ \ t = 6,4 s.}\)

Rysunek 2 wykres na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 0 t v, \ \ v(t):}\)

Prosta "opadająca", zaczynająca się w punkcie \(\displaystyle{ \left (0, v_{0}= 31\frac{m}{s} \right )}\) na osi pionowej \(\displaystyle{ v, }\) przecinająca oś \(\displaystyle{ t }\) w punkcie \(\displaystyle{ t_{0} = 3,2 s }\) i kończąca się pod osią \(\displaystyle{ t }\) na wysokości \(\displaystyle{ t = 6,4 s.}\)

Rysunek 3 wykres na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 0 t a, \ \ a(t) }\) stałego przyśpieszenia \(\displaystyle{ a = -g = -9,81 \frac{m}{s^2} }\) prostej poziomej równoległej do osi \(\displaystyle{ t }\) o długości \(\displaystyle{ 0 t s, \ \ t = 6,4 s.}\)

Dlaczego jak liczę prędkość spadania podstawiając \(\displaystyle{ v_0=20 \frac{m}{s} }\) wychodzi mi 2\(\displaystyle{ s}\) Filmik na którym robione jest zadanie:

Dodano po 4 minutach :
podstawiałam do wzoru \(\displaystyle{ t_s= \frac{v_0}{g}}\)

Dodano po 14 minutach 4 sekundach:
Jeszcze mam takie zadanie Z okna budynku znajdującego się na wysokości 30 m nad ziemią łobuz rzucił kamień pionowo w dół z prędkością o wartości 12m/s.Po jakim czasie i z jaką szybkością kamień uderzy w Ziemię ? Pomiń opór powietrza.W obliczeniach przyjmij g=10m/s do kwadratu

Dodano po 53 sekundach:
Wychodzi mi jakaś dziwna delta w zadaniu powyżej

Analiza zadania

Pomijamy opór powietrza podczas spadania łobuzerskiego kamienia, przyjmując, że jego ruch jest jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ a = -g = -9,8 \frac {m}{s}. }\)

Przemieszczenie kamienia wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\) wynosi

\(\displaystyle{ \Delta y = y - y_{0} = -30 m}\)

Prędkość początkowa kamienia \(\displaystyle{ v_{0} = -12 \frac{m}{s}. }\)

Rozwiązanie

a)

Stosujemy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyśpieszonym wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\)

\(\displaystyle{ \Delta y = y - y_{0} = v_{0}\cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2 }\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe względem czasu spadku kamienia

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}g\cdot t^2 -v_{0}\cdot t + \Delta y = 0 }\)

Wyróżnik tego równania

\(\displaystyle{ \Delta = (-v_{0})^2 - 4\cdot \frac{1}{2}g\cdot \Delta y = v^2_{0} - 2\cdot g \cdot \Delta y }\)

Rozwiązania:

\(\displaystyle{ t = \frac{v_{0} - \sqrt{v^2_{0} - 2g\cdot \Delta y}}{g} < 0 }\) - odrzucamy,

\(\displaystyle{ t = \frac{v_{0} + \sqrt{v^2_{0} - 2g\cdot \Delta y}}{g}> 0 }\) - przyjmujemy,

\(\displaystyle{ t = \frac{-12 \left(\frac{m}{s} \right) + \sqrt{(-12)^2 \left(\frac{m}{s}\right)^2 -2\cdot 9,8 \left(\frac{m}{s^2}\right)\cdot 30 (m)}}{9,80 \left(\frac{m}{s^2}\right)} = 1,54 \ \ s.}\)

Kamień będzie leciał \(\displaystyle{ t = 1,54 \ \ s }\) do chwili uderzenia z Ziemią.

b)

Ze znanego już równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\)

\(\displaystyle{ v^2 - v^2_{0} = 2a\cdot (y - y_{0}), }\)

\(\displaystyle{ v^2 = v^2_{0} - 2g\cdot \Delta y, }\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{v^2_{0} - 2g\cdot \Delta y} }\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{(-12)^2 \left(\frac{m^2}{s^2}\right) -2\cdot 9,8 \left(\frac{m}{s^2}\right) \cdot (-30) (m)} = 27,1 \frac{m}{s}. }\)

Prędkość końcowa kamienia wyniesie \(\displaystyle{ v = 27, 1 \ \ \frac{m}{s}.}\)

Dlaczego jak liczę prędkość spadania podstawiając \(\displaystyle{ v_0=20ms }\)wychodzi mi \(\displaystyle{ 2s}\) Filmik na którym robione jest zadanie:

Prędkość mierzymy w układzie SI w \(\displaystyle{ \frac{m}{s}.}\)

Podstawiamy

\(\displaystyle{ v_{0} = -20 \frac{m}{s}. }\)

\(\displaystyle{ -\frac{20 \frac{m}{s} }{10 \frac{m}{s^2} }}\) tyle mi wychodzi a mu wychodzi 1 s

Różnice wynikają z różnych wysokości spadania \(\displaystyle{ 25 \ i \ 30 \ m}\) oraz przyjętych do obliczeń różnych wartości przyspieszenia ziemskiego zalecanej w zadaniu \(\displaystyle{ 10 }\) a stosowanej \(\displaystyle{ 9,81}\) \(\displaystyle{ m/s^2}\)