Matematyka.pl

Sanki zjeżdżają z górki lodowej o wysokości h i zatrzymują się na lodowisku w odległości
s licząc w kierunku poziomym od wierzchołka górki. Udowodnij, że współczynnik tarcia jest
równy k=h/s

Załóżmy, że przez h oznaczamy wysokość górki, l - długość jej zbocza (czyli przeciwprostokątna), r - długość przyprostokątnej poziomej. Odcinek pokonany przez sanki na ziemi, po zjechaniu z górki - n, droga s to suma długości n i r. Kąt Ψ to kąt nachylenia zbocza górki.

Na początku sanki dysponują pewną energią potencjalną \(\displaystyle{ E_{p}=mgh}\). Zjeżdżając, nabywają energii kinetycznej. Zapiszmy:

\(\displaystyle{ E_{k}=E_{p}-E_{s}}\), gdzie \(\displaystyle{ E_{s}}\) to straty energii związane z pokonaniem siły tarcia sanek o powierzchnię górki. Siła ta wynosi:

\(\displaystyle{ T_{1}=F_{n}\mu = mg\mu cos\psi}\) (wynika to z trójkąta sił).

Wynikowo zatem:

\(\displaystyle{ E_{k}=mgh-mgl\mu cos\psi=mg(h-\mu lcos\psi)}\)

Energia, którą dysponuje ciało zostaje wytracona podczas jazdy poziomej na pokonanie sił tarcia, równych \(\displaystyle{ T_{2}=F_{n}\mu = mg \mu}\) (siła nacisku tutaj równa jest ciężarowi sanek). Otrzymujemy zatem zależność:

\(\displaystyle{ \Delta E_{k}=T_{2}n=mg(h-\mu lcos\psi)}\)
\(\displaystyle{ mg\mu n=mg(h-\mu lcos\psi)}\)
...
\(\displaystyle{ \mu=\frac{h}{n+lcos\psi}}\)

Zauważamy, że \(\displaystyle{ cos\psi=\frac{r}{l}}\):

\(\displaystyle{ \mu=\frac{h}{n+lcos\psi}=\frac{h}{n+l\cdot \frac{r}{l}}=\frac{h}{n+r}=\frac{h}{s}}\)

Koniec dowodu.