Matematyka.pl

Oto problem:

Mamy karuzelę w kształcie okręgu do którego przyczepione są linki, na których z kolei zawieszone są metalowe kulki (tak jak na tzw. karuzelach łańcuchowych). Mamy dane: promień tego górnego okręgu, długość linek, okres obrotu i masę kulek. Jak z tych danych wymyślić parametry ruchu po okręgu kulek (szczególnie chodzi mi tu o promień)? Masa do tego chyba nie jest potrzebna, w każdym razie ja nie mogę sobie poradzić...

Zauważ, że promień "orbity" R składa się z promienia r (od osi obrotu do punktu zawieszenia linki podtrzymującej kulkę) oraz odcinka x - "wystającego" poza promień r. Na kulkę działają siły:
- w pionie w dół: mg
- w poziomie, w prawo powiedzmy: ma - siła bezwładności. ma=mω�R.

Znając okres obrotu T znamy częstość ω = 2 Π / T, jest ona jednakowa i dla punktu zaczepienia i dla kulki, co jest oczywiste.

Kąt jaki tworzy linka l z pionem jest równy kątowi, jaki tworzy siła wypadkowa z tamtych dwóch (w prawo w dół) z ciężarem mg, odpowiednie trójkąty są podobne.

Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{l}{x}=\frac{\sqrt{ω^{4}R�+g�}}{ω�R}}\)

skąd

x = √ ( l � - ( g / ω ) �

czyli

R = r + √ ( l � - ( g / ω ) � .

mam rozumiec ze aby obliczyc x musiales rozwiazac rownanie wielomianowe 4 stopnia ?

Nie, nie musiałem. Przekształcając nie dochodzi się do niego.

Mozliwe ze jestem slepy i nie widze co pisze na kartce ale biorac twoja 1 rownosc z tymi stosunkami w trojkacie i podstawiajac pod R = x + r wychodzi mi rownanie wielomianowe 4 stopnia, ktore zreszta jest nierozwiazywalne dla mnie z moim poziomem wiedzy.
Dodatkowo gdy podstawie pod twoja 1 rownosc wartosc x obliczona przez ciebie nie wychodzi mi rownanie tożsamosciowe. Albo zrobiles jakis blad albo ja mam jakies powazne zaburzenia pola widzenia, co jest w prawdzie u mnie mozliwe. Jesli bys mogl to chcialbym zebys to jeszcze raz zweryfikowal bo siedze juz nad tym ladnych pare godzin i sie zastanawiam jak wyliczyles tak prosto ten x.

[/i]

Zgadza się, jest błąd. Bardzo prosty: działałem przez analogię do ruchu po okręgu bez "wspornika" i nie zmieniłem promienia, ech...

Natomiast na pewno promień nie zależy od masy kulek.

[ Dodano: Czw Sie 25, 2005 4:45 pm ]
Znam rozwiązanie.

mg * tgα = m (d + l*sinα)*ω� - stąd liczymy aproksymując kąt alfa.

Wtedy R = d + l*sinα.

Innej drogi nie ma, niestety.

Z pomocą Waltera Fendta.

Wielkie dzięki.
Jeszcze jedno pytanie: czy podobieństwo trójkątów o którym pisałeś da się udowodnić czy zostało ono stwierdzone doświadczalnie?

Jak masz dwa trójkąty prostokątne o jednakowym drugim kącie, to i trzeci kąt jest taki sam - trójkąty są więc podobne na mocy III czy II cechy podobieństwa trójkątów (kkk).

To akurat wiem tylko wyraziłem się nieściśle: chodzi mi o to czy to że kąty między siłami mg i dośrodkową oraz między linką i pionem są równe zostało jakoś wyprowadzone?

Powiem tak: sam kąt nachylenia linki jest uwarunkowany wypadkową siłą działającą na jej koniec, wektor ten jest jej jakby "przedłużeniem", a więc kąty te są identyczne, czego nie trzeba udowadniać.