Matematyka.pl

W jaki sposób można wyznaczyć przyśpieszenie dośrodkowe i styczne mając prędkość i przyśpieszenie radialne i transwersalne? Najlepiej jakby ktoś mi to rozpisał na jednym prostym przykładzie. Dzięki

Składowa radialna prędkości \(\displaystyle{ v_{r} = r^{'} }\)

Składowa poprzeczna (transwersalna) prędkości dana jest wzorem

\(\displaystyle{ v_{\theta} = r\cdot \theta^{'} }\)

Wartość prędkości wyraża się

\(\displaystyle{ v = \sqrt{v^2_{r} + v^2_{\theta}}}\)

Licząc przyśpieszenie (namawiam do wyprowadzenia wzoru)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ \vec{a} = a_{r}\hat{r} + a_{\theta}\hat{\theta}, }\)

gdzie

składowa radialna przyśpieszenia jest równa

\(\displaystyle{ a_{r} = r^{''} - r \cdot (\theta')^2 }\)

i składowa poprzeczna (transwersalna)

\(\displaystyle{ a_{\theta} = r\cdot \theta^{''} +2r^{'}\cdot \theta^{'}. }\)

Rozważmy ruch po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r }\)

\(\displaystyle{ r = const.}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ \omega = \theta^{'}, \ \ \varepsilon = \omega^{'} = \theta^{''}. }\)

Wtedy

\(\displaystyle{ v_{r} = 0, \ \ v_{\theta} = r\cdot \omega.}\)

Widzimy, że w tym przypadku prędkość poprzeczna jest prędkością punktu na okręgu.

Przyśpieszenie radialne

\(\displaystyle{ a_{r} = -r\cdot \omega^2 }\)

jest przyśpieszeniem dośrodkowym, a przyśpieszenie poprzeczne jest styczne do okręgu i związane z przyśpieszeniem kątowym

\(\displaystyle{ a_{\theta} = r\cdot \varepsilon.}\)