Matematyka.pl

Primo I:
Pocisk wystrzelony z karabinu miał szybkość \(\displaystyle{ v_1=700\frac{m}{s}}\). Przy wystrzale karabin został odrzucony z szybokścią \(\displaystyle{ v_2=2\frac{m}{s}}\). Jaki jest stosunek masy karabinu do masy pocisku ??

Primo II:
Kula o masie m=10kg lecąca poziomo z szybkością \(\displaystyle{ v=50\frac{m}{s}}\), wpada do platformy z piaskiem, o masie M = 5t, stojąfcej na torze, i grzęźnie w tym piasku. Z jaką szykością zacznie poruszać się platforma?

Primo III:
Łyżwiarz o masie M=80kg, stojący na zamarzniętym jeziorze, rzuca kamień o masie m=400g poziomo w kierunku brzegu. Kamień dolatuje do brzegu odległego o s=15m po czasie t=1,5s. Zakładając, że kamień poruszał się ruchem jednostajnym, oblicz prędkość łyżwiarza po rzucie.

Primo IV:
Na jeziorze na łódce o długości l=4m i masie M=125kg stoi wędkarz o masie m=75kg. W pewnym momencie wędkarz przechodzi z jednego końca łódki na drugi. O ile przesunie się łódka względem wody??

Moja praca domowa ehhh. Mam odpowiedzi ale za nic nie mogę dojść do tego skąd się one wzięły.

Wszystko związane z zasadą zachowania pędu:\(\displaystyle{ v_1\cdot m_1=v_2\cdot m_2}\).
W tym pierwszym zadaniu:
\(\displaystyle{ v_1\cdot m_1=v_2\cdot m_2\\\frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1}}\)
W pozostałych podobnie.

To pierwsze właśnie tak kombinowałem. Jednak najprostsze rozwiązania są najlepsze.

Ad. 3

Marcin511 pisze:(...) rzuca kamień o masie m=400kg poziomo (...)

Co proszę?

Z zasady zachowania pędu:

\(\displaystyle{ \large m_{k}\vec{v}_{k}+m_{l}\vec{v}_{l}=0 \\ v_{k}=\frac{\Delta s}{\Delta t}}\)

Zakładamy brak oporów ruchu, otrzymując:

\(\displaystyle{ \large v_{l}=-\frac{m_{k}\Delta s}{m_{l}\Delta t}}\)

Heh pomyłka 400g, pierwsze 3 jakoś rozszyfrowałem nie wiem co z 4.

Siły wewnętrzne nie mogą zmienić położenia środka masy układu. Musisz go znaleźć przed i po zdarzeniu oraz zobaczyć jak to wpływa na położenia łódki względem wody.

Nic mi nie pomogłeś

Wg mnie to tak będzie:
l=długość łódki (4m)
M=masa łódki (125kg)
M=masa człowieka (75kg)
t=czas przejścia tych 4m
L=odległość jaką łódka pokonała.
\(\displaystyle{ p=m\cdot v=\frac{m\cdot s}{t}\\\frac{4m 75kg}{t}=\frac{125m L}{t}}\).

Ruszyć głową to za dużo, trzeba gotowca widzę podsunąć, proszę bardzo:

Położenie środka masy (=CM) łódki oczywiste - jej geometryczny środek. Przyjmiemy "obustronne przedłużenie" łódki jako oś iksów, jej lewy koniec - punkt 0.

Na początku człowiek stoi na lewym końcu łódki, więc środek masy układu ma współrzędną iksową: \(\displaystyle{ x_{CM}=\frac{m*x_{C}+M*x_{L}}{m+M}=\frac{125kg*2m}{200kg}=1,25m}\)
XL-położenie CM łodzi

Następnie człowiek przechodzi na drugą stronę łódki, tym razem jego współrzędna iksowa to już nie zero lecz długość łódki - 4m, \(\displaystyle{ X_{CM}=\frac{m*x_{C}+M*x_{Ł}}{m+M}=\frac{75kg*4m+125kg*2m}{200kg}=2,75m}\)

Czyli widzimy że CM przesunął się pozornie o 2,75m-1,25m=1,5m, zaś naprawdę przesunęła się o tyle nasza oś, a więc łódka.

Lorek, czas tu niepotrzebny.

Za ciężką fizykę tu wyłożyłeś jak dla mnie.
W odpowiedziach mam coś takiego
\(\displaystyle{ x=l\frac{m}{M+m}}\)
skąd ten wzór się wziął??

Jedyna trudność tutaj to wzór na położenie środka masy. Całą łódkę traktujemy jak punkt o masie łódki i położeniu w jej środku masy, więc w L/2.

Wzór podany przez Ciebie wynika bezpośrednio z obliczeń powyżej:
Twoje "x" to różnica położeń CM układu, a więc drugiego: \(\displaystyle{ X_{CM}=\frac{mL+ML/2}{m+M}}\) (gdzie m-masa człowieka, M-łódki, L-jej długość) i pierwszego \(\displaystyle{ x_{CM}=\frac{ML/2}{m+M}}\) czyli

\(\displaystyle{ x=X_{CM}-x_{CM}=\frac{mL+ML/2}{m+M}-\frac{ML/2}{m+M}=\frac{mL+ML/2-ML/2}{m+M}=\frac{mL}{m+M}}\)

Choć nie twierdzę, że jest to droga najkrótsza, lecz taką w tej chwili widzę, może ktoś inny poda lepszą, na co liczmy

Ja coś takiego mam
v - prędkość człowieka
V - predkość łódki
m - masa człowieka
M - masa łódki
Z prawa zachowania pędu
mv = (M+m)V
\(\displaystyle{ v=\frac{L}{T}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{X}{T}}\)

\(\displaystyle{ m\frac{L}{T}=(M+m)\frac{X}{T}}\)
\(\displaystyle{ mL=(M+m)X}\)
\(\displaystyle{ X=L\frac{m}{M+m}}\)

Może jeszcze, aby skomplikować , wyjaśnię, jak możemy otrzymać odległości środka masy układu od końców łódki. Wyobraźmy sobie, iż układ łódka - człowiek stawiamy na czubku ostrosłupa dokładnie w punkcie, w którym znajduje się środek masy - układ pozostaje w równowadze, gdyż działające nań momenty sił grawitacji są sobie równe. Łączny moment działający na część łódki ze stojącym nań człowiekiem będzie sumą momentu działającego na samą fizyczną strukturę części łódki i momentu działającego na człowieka:

\(\displaystyle{ \large \vec{M}=\vec{M}_A +\vec{M}_{c}}\)

Moment działający na człowieka (dla ułatwienia zakładamy, że jest on punktem materialnym!) to oczywiście:

\(\displaystyle{ \large \vec{M}_c =mgr_1}\), gdzie \(\displaystyle{ r_1}\) to odległość człowieka od środka masy łódki i jednocześnie długość tej części łódki.

Aby obliczyć moment działający na część łódki z człowiekiem, dzielimy ją na nieskończenie wiele "plasterków" o szerokości \(\displaystyle{ d(r_1)}\), identycznej objętości dV i takiej samej gęstości \(\displaystyle{ \sigma}\). Stąd cząstkowy moment siły równy będzie:

\(\displaystyle{ \large d\vec{M}_A =g\cdot dM_{1}\cdot d(r_1) =g\cdot \sigma dV=g\sigma P_{p}r_1 d(r_1)}\)

Obustronnie całkując:

\(\displaystyle{ \large \vec{M}_A =\int_{0}^{r_1} g\sigma P_{p}r_1 d(r_1)=g\sigma P_{p}\cdot [\frac{r_1 ^2}{2}]_{0}^{r_1}=...=\frac{M_{1} gr_1}{2}}\)

Analogicznie, drugi moment (drugiej części łódki) równy będzie:

\(\displaystyle{ \large \vec{M}_B =\int_{0}^{r_2} g\sigma P_{p} r_2 d(r_2)=...=\frac{M_2 gr_2}{2}}\)

Rozwiązując równanie:

\(\displaystyle{ \large \frac{M_{1} gr_1}{2}+mgr_1 =\frac{M_2 gr_2}{2}}\)

... i uwzględniając, iż \(\displaystyle{ l=r_1 +r_2}\) oraz zamieniając masy \(\displaystyle{ M_1}\) i \(\displaystyle{ M_2}\) na ułamki odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{r_1 M}{l}}\) i \(\displaystyle{ \frac{r_2 M}{l}}\), otrzymamy identyczną odległość środka masy od końców łodzi, jaką uzyskał PawelJan.

To tylko tak tytułem dopowiedzenia .