Matematyka.pl

Witam!

Proszę o pomoc w zadaniu:
"Kłoda drewniana w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 80x60x60 o gęstości 0,8 g/cm^{3} leży na największej ze swych ścian. Ile pracy należy wykonać żeby ją obrócić na mniejszą ścianę."

Obliczyłem masę kłody: 307,2kg i dalej nie wiem co zrobić

zadanie pochodzi ze zbioru W. Zillingera, który proponuje używać do obliczeń g=9,81 N/kg, za nic nie mogę dojść do wyniku 425J.

Pomóżcie, dobrzy ludzie! )

Aby obrócić ten kloc trzeba podnieść przez obracanie jego środek masy na wysokość 0,5 m, a to jest wyżej o 0,2 m niż zajmuje obecnie. Praca na wykonanie tego obrotu ( zakładając bardzo powolny obrót kloca względem krawędzi) to przyrost energii potencjalnej na postawienie kloca tak, by przekątna przekroju poprzecznego była pionową..
Wydaje mi się, że w odpowiedzi jest tzw "czeski błąd", przestawiono kolejność dwu ostatnich cyfr.
W.Kr.

\(\displaystyle{ \rho = 0,8 \ \left[ \frac{g}{cm^{3}} \right] =800 \ \left[ \frac{kg}{m^{3}} \right] \\
V=0,8 \ \left[ m \right] \cdot 0,6 \ \left[ m \right] \cdot 0,6 \left[ m \right] = 2,88 \ \left[ m^{3} \right] \\
\rho = \frac{m}{V} \to m = \rho V \\
m=230,4 \ \left[ kg \right] \ \left( na \ moje \ oko \right) \\}\)

\(\displaystyle{ W= \Delta E = E_{2}-E_{1} \\
E_{1}=mgh_{1_{sm}} \\
h_{1_{sm}}=0,3 \ \left[ m \right] \\
h_{2_{sm}}=\sqrt{ \left( \frac{0,8}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{0,6}{2} \right) ^{2}} \ \left[ m \right] = 0,5 \ \left[ m \right] \\
E_{2}=mgh_{2_{sm}} \\
W=mg \left( h_{2_{sm}}-h_{1_{sm}} \right) \approx 230,4 \ \left[ kg \right] \cdot 9,81 \ \left[ \frac{m}{s^{2}} \right] \cdot 0,2 \ \left[ m \right] \approx 452 \ \left[ J \right]}\)

Dlaczego tak.. wyobraź sobie jak ten prostopadłościan poruszałby się gdybyś o przestawiał. W skrajnym przypadku (gdy prostopadłościan będzie stał na krawędzi) to środek masy będzie w pewnym momencie w pewnym maksymalnym punkcie. Będzie to połowa odpowiedniej przekątnej. Liczę pracę jako różnicę energii środków masy w odpowiednich punktach.

Jeżeli zauważyć, że połowy krawędzi to: 3 i 4, i są prostopadłe do siebie, to pół przekątnej, przeciwległej kątowi prostemu, ma miarę 5, co wynika z stąd, że pierwsza trójka liczb pitagorejskich to: 3, 4, 5. I nawet nie potrzeba rachować.