Zadanie
Jednorodny pręt o długości \(\displaystyle{ r = 0,6 \ \ m }\) i masie \(\displaystyle{ 1 kg }\) obraca się wokół osi, przechodzącej przez jeden z jego końców, względem której moment bezwładności wynosi \(\displaystyle{ I_{0} = 0,12 kg\cdot m^2. }\)
Gdy ruchomy koniec pręta przechodzi przez swe najniższe położenie zderza się z małą kulką kitu o masie \(\displaystyle{ m = 0,2 \ \ kg, }\) która przykleja się do pręta.
Proszę wyznaczyć prędkość kątową układu pręt-kit tuż po zderzeniu, wiedząc, że prędkość końcowa pręta tuż przed zderzeniem wynosiła \(\displaystyle{ \omega_{0} = 2,4 \ \ \frac{rad}{s}. }\)
Analiza zadania
Niekonwencjonalnie wybieramy ruch pręta zgodny ze wskazówkami zegara jako dodatni. Przy takim wyborze, prędkość kątowa układu będzie dodatnia.
Rozwiązanie
Moment bezwładności układu "pręt - kit" wynosi
\(\displaystyle{ I = I_{0} + m\cdot r^2 }\)
\(\displaystyle{ I = 0,12 (kg \cdot m^2) + 0,20 (kg) \cdot (0,6)^2 (m^2) = 0,19 \ \ kg \cdot m^2.}\)
Stosujemy zasadę zachowania momentu pędu
\(\displaystyle{ L_{0} = L_{f}, }\)
\(\displaystyle{ I_{0}\cdot \omega_{0} = I\cdot \omega }\)
stąd
\(\displaystyle{ \omega = \frac{I_{0}\cdot \omega_{0}}{I}, }\)
\(\displaystyle{ \omega = \frac{0,12 (kg\cdot m^2)\cdot 2,4\left( \frac{rad}{s}\right)}{0,19 (kg\cdot m^2)} = 1.5 \ \ \frac{rad}{s}. }\)