Matematyka.pl

Pewne zadanie z ruchu po okręgu nie daje mi spokoju. Policzyłem zadanie dwoma sposobami, ale dostaję różne wyniki i nie do końca rozumiem dlaczego tak się dzieje. Będę wdzięczny za wszelkie uwagi/wyjaśnienia.

Treść zadania:
Karuzela obracająca się z prędkością kątową \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \frac{rad}{s}}\) zwiększyła w czasie 10 s jednostajnie prędkość do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\frac{rad}{s}}\). Oblicz ile obrotów wykonała w tym czasie karuzela?

Dane:
\(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{\pi}{4} \frac{rad}{s}}\)
\(\displaystyle{ \omega_{k} = \frac{\pi}{2} \frac{rad}{s}}\)
\(\displaystyle{ t = 10 \, s}\)


I SPOSÓB:

Droga w sensie kątowym:
\(\displaystyle{ \alpha =\omega_{0} \cdot t+\frac{\epsilon \cdot t^{2}}{2}}\)

Przyspieszenie kątowe:
\(\displaystyle{ \epsilon = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{k}-\omega_{0}}{t} = \frac{\pi}{40}\frac{rad}{s}}\)

Droga:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{15\pi}{4}\frac{rad}{s}}\)

Ilość obrotów n:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2 \pi \, rad} = \frac{15}{8} \, (obr)}\)

II SPOSÓB

Prędkość kątowa:
\(\displaystyle{ \omega = 2 \pi f}\)

Przyrost częstotliwości:
\(\displaystyle{ \Delta f = \frac{\omega_{k}-\omega_{0}}{2 \pi} = \frac{\frac{\pi}{4} \frac{rad}{s}}{2\pi \, rad} = \frac{1}{8} Hz}\)

Ilość obrotów:
\(\displaystyle{ n = \Delta f \cdot t = \frac{1}{8}\frac{1}{s} \cdot 10s = \frac{10}{8} (obr)}\)

Średnia prędkość kątowa w tym ruchu jest równa:

\(\displaystyle{ \omega_{śr} = \frac{1}{2}\left( \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{3 \pi }{8} }\)
Droga kątowa przebyta w czasie \(\displaystyle{ \Delta t=10 \ s}\) równa jest: \(\displaystyle{ \varphi = \omega_{śr} \Delta t}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{3 \pi }{8} \cdot 10 }\) rd
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{30 \pi }{8} }\) rd
Droga mierzona liczbą obrotów równa jest \(\displaystyle{ n= \frac{\varphi}{2 \pi } }\)
zatem \(\displaystyle{ n = \frac{30 \pi }{16 \pi } = \frac{15}{8} }\) obr.

W drugim sposobie masz sprzeczność:

seyfert pisze: 2 lis 2020, o 22:28 ...
II SPOSÓB
...

Ilość obrotów:
\(\displaystyle{ n = \Delta f \cdot t = \frac{1}{8}\frac{1}{s} \cdot 10s = \frac{10}{8} (obr)}\)

Gdyby ruch był jednostajny, \(\displaystyle{ \Delta f }\) byłaby równa zero i ilość obrotów wyniosła by zero. Wzór nie może być poprawny.

Dodano po 7 minutach 57 sekundach:
A \(\displaystyle{ \omega=2\pi f}\) to częstość kątowa, która nie ma (chyba?) większego sensu w ruchu przyspieszonym.

Kolega pkrwczn ma rajcę.
Ten wzór {\(\displaystyle{ n = \Delta f \cdot t = \frac{1}{8}\frac{1}{s} \cdot 10s = \frac{10}{8} (obr)}\)}
jest niepoprawny.
co słusznie zauważył.

Dodano po 8 godzinach 7 minutach 36 sekundach:
rację.
Przepraszam Kolegę za literówkę
W.Kr.

Gdyby ruch był jednostajny, \(\displaystyle{ \Delta f }\) byłaby równa zero i ilość obrotów wyniosła by zero. Wzór nie może być poprawny.

Dziękuję za uwagi.

Dodano po 7 minutach 57 sekundach:
A \(\displaystyle{ \omega=2\pi f}\) to częstość kątowa, która nie ma (chyba?) większego sensu w ruchu przyspieszonym.

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli. Tak naprawdę w II sposobie użyłem różnicy prędkości kątowych a nie po prostu samego wzoru na prędkość kątową. W ruchu przyspieszonym przyspieszenie kątowe \(\displaystyle{ \epsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{2} - \omega_{2}}{\Delta t}}\), więc użycie wzoru na prędkość kątową (ich różnicy) w odniesieniu do ruchu przyspieszonego jest jak najbardziej poprawne.