Matematyka.pl

"Wysięgnik dźwigu obrotowego wykonany jest z jednorodnego, pochyłego pręta o długości \(\displaystyle{ L}\) i o ciężarze \(\displaystyle{ w}\), zamocowanego w pobliżu niższego końca. Pręt jest ustawiony pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\) względem pionu i podtrzymywany za pomocą poziomej liny zaczepionej w punkcie odległym o \(\displaystyle{ x}\) od miejsca zamocowania pręta. Na górnym końcu pręta zawieszony jest ciężar \(\displaystyle{ W}\). Jakie jest naprężenie w poziomej linie?"

Mam problem ponieważ poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ T= \frac{L}{x} \cdot \left( \frac{w}{2}+W \right) \cdot \tg \theta}\) a w moim rozwiązaniu nie umiem znaleźć błędu w rozumowaniu.Spróbowałem zrobić to tak: wyobraźmy sobie, że wysięgnik może swobodnie przechodzić między wychyleniem w jedną stronę, a w drugą (tak jakby nie było tego pionowego słupa), w miejscu gdzie teraz jest zamocowana lina umieśćmy bloczek i niech przedłużenie tej liny przechodzi przez ten bloczek na którym umieścimy ciężar \(\displaystyle{ K}\) zakładamy że nie istnieją żadne opory, a maszyna jest odwracalna Zatem gdy wysięgnik zmieni położenie na pionowe za sprawą wykonanej pracy przez ciężar \(\displaystyle{ K}\) to ciężar \(\displaystyle{ W}\) zmieni wysokość o \(\displaystyle{ L-L \cdot \cos \theta}\) ,jeśli pręt jest jednorodny to możemy przyjąć, że cały jego ciężar skupiony jest w środku, więc jego wysokość zmieni się o \(\displaystyle{ \frac{L}{2}- \frac{L}{2} \cdot \cos \theta}\) Przyjmując oznaczenia \(\displaystyle{ a}\) jako odległość początkowa między bloczkiem, a zaczepieniem liny na wysięgniku, a \(\displaystyle{ b}\) jako odległość między bloczkiem a dolnym umocowaniem dźwigu to oczywiście \(\displaystyle{ a=x \cdot \sin \theta}\), natomiast \(\displaystyle{ b=x \cdot \cos \theta}\) więc ciężar \(\displaystyle{ K}\) opuści się o \(\displaystyle{ a+b-x=x \cdot \sin \theta+x \cdot \cos \theta-x=x \cdot \left( \sin \theta+\cos \theta-1 \right)}\) więc z zasady zachowania energii zachodzi:
\(\displaystyle{ K \cdot x \cdot \left( \sin\theta+\cos \theta-1 \right) =w \cdot \left( \frac{L}{2}- \frac{L}{2} \cdot \cos \theta \right) +W \cdot \left( L-L \cdot \cos \theta \right)}\)
Stąd po przekształceniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ K=T= \frac{L}{x} \cdot \left( \frac{w}{2}+W \right) \cdot \left( \frac{1-\cos\theta }{\sin\theta +\cos\theta -1} \right)}\)
PS: Zadanie pochodzi z "Wykładów Feynmana cz. I" a zadania z tego rozdziału należy rozwiązywać stosując zasadę zachowania energii lub zasadę prac wirtualnych.

Odnoszę wrażenie, że tym sposobem obliczona jest średnia wartość siły w linie a nie jej wartość chwilowa w położeniu ramienia określonego kątem jego nachylenia.
Proponuję wyznaczyć konstrukcyjnie (z tw. o trzech siłach zadanie jest banalnie proste byle rysunek wykonać starannie) długości wektorów siły w nici dla dwu położeń ramienia. Jednego dla kąta \(\displaystyle{ \theta = 30^o}\) i drugiego dla \(\displaystyle{ \theta}\) bliskiego zera, czyli w położeniu ramienia bliskiego pionowemy i porównać miary tych wektorów.
Dla określenia sił w stanie równowagi statycznej metoda wynikająca z zasady zachowania energii jest nieprzydatna z prostego powodu, z braku ruchu elementów składowych układu. Zachodzi równowaga sił i momentów względem dowolnie wybranego bieguna lub osi.
Jeżeli postawiony jest wymóg rozwiązania metodą prac przygotowanych, to trzeba napisać równania Lagrange`a i je rozwiązać. Tu układ ma jeden stopień swobody określony kątem nachylenia ramienia.

______________________________________________________________

I.Rozw. w oparciu o zasadę prac wirtualnych- przygotowanych

Udzielamy prętowi o długości \(\displaystyle{ l}\) i ciężarze \(\displaystyle{ w}\) przemieszczenia wirtualnego- przygotowanego.
Parametrem układu jest kąt \(\displaystyle{ Theta}\)
.................................................
1.Uwolnienie belki od więzów;
\(\displaystyle{ T}\)- napięcie - reakcja w linie- kierunek znany- wzdłuż osi więzu,
\(\displaystyle{ R_{a}( R _{Ax} , R _{Ay})}\)- podpora stała - kierunek reakcji nieznany , stąd rozkład na składowe wzdłuż osi przyjętego układu współrzędnych-\(\displaystyle{ A,x,y}\).
2. Rzuty sił czynnych na osie układu współrzędnych-początek układu -przegub- punkt wokół którego pręt zmienia położenie-wychyla się:
\(\displaystyle{ w _{x}=0, w _{y}=w}\),
\(\displaystyle{ W _{x}=0, W _{y}=W}\)
\(\displaystyle{ T _{x}=-T, T _{y}=0}\)
3.Wykorzystując zasadę prac wirtualnych- przygotowanych możemy zapisać równanie

\(\displaystyle{ -w cdot delta y _{1}-W cdot delta y _{2}-T cdot delta x _{3}=0}\), (1)
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie
\(\displaystyle{ y _{1}=0,5l cdot cosTheta}\),
\(\displaystyle{ y _{2}=l cdot cosTheta}\),
\(\displaystyle{ x _{3}=x cdot sinTheta}\)

\(\displaystyle{ delta y _{1}=-0,5l cdot sinTheta cdot delta Theta}\),
\(\displaystyle{ delta y _{2}=-l cdot sinTheta cdot delta Theta}\),
\(\displaystyle{ delta x _{3}=x cdot cosTheta cdot delta Theta}\),
....................................................................
Po podstawieniu do równania (1) otrzymujemy

\(\displaystyle{ left( w cdot 0,5l cdot sinTheta+ W l cdot sinTheta -T cdot x cdot cosTheta
ight)delta Theta=0}\), (2)
Ostatecznie z rów. (2) otrzymujemy przepis na wartość siły napięcia(reakcji) w cięgnie -linie.
\(\displaystyle{ T= frac{l}{x} gThetaleft( W+ frac{w}{2}
ight)}\), (3)
.......................................................................
Pomocne
431406.htm
-------------------------------------------------------------------------------------
Metoda oparta na zasadach równowagi- statyki ciała
II. Opierając się na warunku statycznej równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił możemy napisać równanie momentów wszystkich sił wzgl bieguna(A)- przegubu i przyrównać go do zera:
\(\displaystyle{ M _{A}=0 Rightarrow -W cdot sinTheta cdot l- w cdot sinTheta cdot frac{l}{2} +T cdot x cdot cosTheta=0}\)
Z równania otrzymujemy wartość siły napięcia (reakcji)_w linie
\(\displaystyle{ T= frac{l}{x} gThetaleft( W+ frac{w}{2}
ight)}\), (4)

Ponadto pozostałe warunki równowagi pozwalają napisać równania:
\(\displaystyle{ Sigma F _{x}=R _{Ax}-T=0}\)
\(\displaystyle{ Sigma F _{y}=R _{Ay}-W-w=0}\)
Całkowita wartość reakcji w podporze A;
\(\displaystyle{ R _{A}= sqrt{R ^{2} _{Ax}+R ^{2} _{Ay}}}\), (5)
.......................

Jeżeli zainteresowany pawel1216 tego nie potrafi, to ja pozwolę sobie podziękować Panu siwymech za świetne zilustrowanie i rozwiązanie zadania.
W.Kr.

Oczywiście dziękuje wam za pomoc po prostu doszedłem po dodaniu tego wątku do rozwiązania i nie zaglądałem na forum dłuższy czas, wybaczcie