Matematyka.pl

Zadanie:

Jedziesz samochodem z punktu A do punktu B ze stałą prędkością 40 km/h. Z jaką prędkością powinieneś wracać, jeśli chcesz, by średnia prędkość dla całej trasy wyniosła 80 km/h?

\(\displaystyle{ V_{\text{śr}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1+V_2} }\)

\(\displaystyle{ V_2 = \frac{2 \cdot V_{\text{śr}} \cdot V_1}{2V_1-V_{\text{śr}}} }\)

Kiedy wstawie moje wartości mianownik wychodzi mi 0, jak zrobić to zadanie?
Wzór jest przeciez dobry!:)

Pozdrawiam

Vidar pisze: 7 lis 2020, o 20:58 \(\displaystyle{ V_2 = \frac{2 \cdot V_{\text{śr}} \cdot V_1}{2V_1-V_{\text{śr}}} }\)

Kiedy wstawie moje wartości mianownik wychodzi mi 0, jak zrobić to zadanie?
Wzór jest przeciez dobry!:)

Prawie dobry, skoro naprawdę to:
\(\displaystyle{ V_2 = \frac{V_{\text{śr}} \cdot V_1}{2V_1-V_{\text{śr}}} }\)
co jednak nie zmienia problemu zerowania się wyniku.

Przekształcę pierwszy wzór:
\(\displaystyle{ V_{\text{śr}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1+V_2} =2V_1-\frac{2 \cdot V_1^2}{V_1+V_2} }\)
Jak widać średnia prędkość przejazdu tam i z powrotem z pewnością jest mniejsza niż dwukrotność prędkości przejazdu w jedną stronę. A w zadaniu tak nie jest.

PS. Załóżmy, że istnieje teleport przenoszący natychmiastowo pojazd z punktu B do punktu A. Jaka teraz będzie prędkość średnia?

W jaki sposób uzyskałeś taki wzór z \(\displaystyle{ V_1}\) do kwadratu?

Jak widać średnia prędkość przejazdu tam i z powrotem z pewnością jest mniejsza niż dwukrotność prędkości przejazdu w jedną stronę. A w zadaniu tak nie jest.

Skąd to wiesz, może być przypadek kiedy średnia prędkość jest równa dwukrotności przejazdu w jedną stronę, właśnie tak nam wychodzi.

EDIT:
Jedyne co wnioskuję, że \(\displaystyle{ V_2}\) dąży do nieskończoności.

Zauażmy, że średnia to suma składników podzielona przez ich ilość.
Zatem: \(\displaystyle{ v_{śr} = \frac{1}{2} (v_1 -v_2)}\)
\(\displaystyle{ 2 v_{śr} = v_1 + v_2}\)
czyli:\(\displaystyle{ 2 \cdot 80 = 40 + v_2}\),
stąd: \(\displaystyle{ v_2 = 160-40=120 }\) km/godz

Średnią arytmetyczną w tym przypadku mógłbyś tylko użyć jeśli czas jazdy wynosiły tyle samo np. 1 godzinę.
Natomiast jadąc do pewnej miejscowości np. oddalonej o 100km jadąc 100km/h przejadą ją w 1h, jadąc z powrotem 50km/h przejadę trasę w 2h.
Czas jazdy 100km/h - 1h.
Czas jazdy 50km/h - 2h.

Nie mozesz uzyc sredniej arytmetycznej:)

Zauważ, że jazda odbywa się na odcinkach drogi jednakowej długości.
Choć chyba masz rację.

kruszewski pisze: 7 lis 2020, o 22:52 Zauważ, że jazda odbywa się na odcinkach drogi jednakowej długości.

A więc np \(\displaystyle{ 120}\) km. Łącznie w obie strony \(\displaystyle{ 240}\) km. W jedną stronę \(\displaystyle{ 3h}\), w drugą \(\displaystyle{ 1h}\). Łącznie \(\displaystyle{ 4h}\). Srednia prędkość \(\displaystyle{ \frac{240}{4}=60}\). A miało być \(\displaystyle{ 80}\). Nie można tak uśredniać. Nie da się zrobić średniej prędkości \(\displaystyle{ 80}\) bo trzeba by drugi odcinek pokonać w czasie równym zero.

Słusznie. Kolega Pesel ma tu rację i potwierdza tym wyrażany wcześnej "podgląd" o niemożliwości.
Nie używane jest zapominane.

Vidar pisze: 7 lis 2020, o 21:58 W jaki sposób uzyskałeś taki wzór z \(\displaystyle{ V_1}\) do kwadratu?

\(\displaystyle{ V_{\text{śr}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1+V_2} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2+2 \cdot V_1^2-2 \cdot V_1^2}{V_1+V_2}=\frac{2 V_1 ( V_2+ V_1)}{V_1+V_2}+\frac{-2 \cdot V_1^2}{V_1+V_2} =2V_1-\frac{2 \cdot V_1^2}{V_1+V_2} }\)

Vidar pisze: 7 lis 2020, o 21:58

Jak widać średnia prędkość przejazdu tam i z powrotem z pewnością jest mniejsza niż dwukrotność prędkości przejazdu w jedną stronę. A w zadaniu tak nie jest.

Skąd to wiesz

Wiem stąd:
\(\displaystyle{ V_{\text{śr}} =2V_1-\frac{2 \cdot V_1^2}{V_1+V_2} <2V_1}\)

Vidar pisze: 7 lis 2020, o 21:58 może być przypadek kiedy średnia prędkość jest równa dwukrotności przejazdu w jedną stronę, właśnie tak nam wychodzi.

Mi tak wychodzi? A konkretnie to gdzie coś takiego napisałem?

Vidar pisze: 7 lis 2020, o 21:58 EDIT:
Jedyne co wnioskuję, że \(\displaystyle{ V_2}\) dąży do nieskończoności.

Super bryka.

Popatrzmy na tę zagadkę tak:
nie jest rygorem jazda przez pół dystansu z prędkością
\(\displaystyle{ 40 }\) km/h a tylko na jego jego części.
Dystans do pokonania to:
\(\displaystyle{ v_1t_1 + v_2t_2 = v_{śr} (t_1 + t_2) }\)
po przekształceniach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2 - v_{śr}}{v_1} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1} - \frac{v_{śr}}{v_1} }\)

i całkowity czas przejazdu \(\displaystyle{ t = t_1 + t_2 }\)

Znając możliwości auta i dysponowanym czasem na przejazd można dobrać pozostałe prędkości i czasy.