Matematyka.pl

W Ogólnopolskiej Olimpiadzie o Diamentowy Indeks AGH (2018 -2019 - etap I ) przedstawiono zadanie o następującej treści:

Bieg z ruchomą "metą" (Wings for Life World Run) odbywa się według następujących zasad:
Samochód zamykający bieg startuje pół godziny za biegaczami ze stałą szybkością \(\displaystyle{ v_{0} = 15 \frac{km}{h}. }\)
Co godzinę zwiększa prędkość do kolejnych stałych wartości: \(\displaystyle{ v_{1}= 16 \frac{km}{h},\ \ v_{2} = 17\frac{km}{h}, \ \ v_{3}= 20 \frac{km}{h}, \ \ v_{4} = 35 \frac{km}{h}. }\)
Bieg kończy się dla biegacza po dogonieniu go przez samochód "metę".
Jaki dystans pokona biegacz biegnący jednostajnym tempem zapisanym w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{v} = 4 \frac{min}{km}? }\)
Wynik zilustruj na wspólnym wykresie drogi od czasu, zarówno dla biegacza, jak i dla samochodu.

Rozwiązanie

Oznaczamy czas zmiany kolejnych prędkości samochodu "mety" przez \(\displaystyle{ \Delta t = 1 h}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{v} = 4\frac{min}{km} }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{1}{4} \frac{km}{min} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{60}} \frac{km}{h} = 15 \frac{km}{h} }\)

Zakładając, że biegacz porusza się ruchem jednostajnym- prostoliniowym, droga w tym ruchu

\(\displaystyle{ s = v \cdot t. }\)

Jeśli przez \(\displaystyle{ t }\) oznaczymy czas w godzinach, po którym biegacz zostanie dogoniony przez samochód " metę" to dla \(\displaystyle{ t \in(3,5h, \ \ 4,5h) }\) możemy ułożyć następujące równanie ruchu biegacza:

\(\displaystyle{ v\cdot t = v_{0}\Delta t + v_{1} \Delta t + v_{2}\Delta t + v_{3}( t - 3,5) }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v\cdot t = (v_{0} +v_{1}+ v_{2})\Delta t +v_{3}t - 3,5 v_{3} }\)

\(\displaystyle{ t(v - v_{3}) = (v_{0}+v_{1}+v_{2})\Delta t -3,5 v_{3} }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{ 3,5 v_{3} - (v_{0}+v_{1}+v_{2})\Delta t }{v_{3} - v} }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{3,5 \cdot 20 \left(\frac{km}{h}\right) - \left (15\left(\frac{km}{h}\right) +16\left(\frac{km}{h}\right) + 17\left(\frac{km}{h}\right)\right )\cdot 1 (h)}{20\left(\frac{km}{h}\right) - 15\left(\frac{km}{h}\right)} = 4,4 h }\)

W czasie \(\displaystyle{ t = 4,4 h }\) biegacz pokona dystans \(\displaystyle{ s = 15\left(\frac{km}{h}\right)\cdot 4,4 (h) = 66 km. }\)

W układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ s(t) }\) rysujemy dwa wykresy dla ruchu samochodu "mety" i biegacza i zaznaczamy wspólny punkt ich przecięcia \(\displaystyle{ (4, 4 h, \ \ 66 km).}\)

Dodano po 14 minutach 47 sekundach:
Już się pojawiło to rzeczywiście nie mogło się uprościć, a tym bardziej "wyrugować'- słowo wzięte z algebry liniowej od metody rozwiązywania równań liniowych "metoda rugowania zmiennych".

A może z "Placówki" Bolesława Prusa?
Tam rugi to usuwanie, usuwanie z ziemi.

Można też "na palcach". Przez \(\displaystyle{ 0.5 \ h}\) samochód straci do biegacza \(\displaystyle{ 7.5 \ km}\). Po kolejnej godzinie nic nie nadrobi. Po kolejnej godzinie nadrobi \(\displaystyle{ 1 \ km}\), po następnej dodatkowe \(\displaystyle{ 2 \ km}\), a po kolejnej godzinie nadrobiłby dodatkowo aż \(\displaystyle{ 5 \ km}\), ale potrzebował tylko \(\displaystyle{ 4.5 \ km}\), więc wystarczy mu \(\displaystyle{ \frac{4.5}{5}=0.9 \ h }\).

Pesel: mógłbyś to swoje rozwiązanie słowne " na palcach" z błyskiem ubrać rachunkowo?

Ale po co. Wystarczy przeczytać to, co jest napisane.

Nie wystarczy.

Masz wymagania. Przecież w Twoim sposobie nie ma żadnego rachunku (ani innego uzasadnienia), z którego wynikałoby, że zabawa skończy się między \(\displaystyle{ 3.5 \ h}\), a \(\displaystyle{ 4.5 \ h}\). Aż się boję stwierdzić, że mój sposób nie ma tej wady.

Nie mam wymagań. Nie jest takim zdolnym i błyskotliwym jak Ty. Na przykład nie rozumiem dlaczego "po następnej godzinie nic nie nadrobi"

W moim rozwiązaniu jest rachunek, jest równanie wiążące ruch biegacza z ruchem samochodu "mety" i jego rozwiązanie.

Nic nie nadrobi ponieważ ma taką samą prędkość jak biegacz, którego goni. Co do tej drugiej kwestii, to niestety nie widzę tego. Założyłeś, że sprawa rozstrzygnie sie między \(\displaystyle{ 3.5 \ h}\), a \(\displaystyle{ 4.5 \ h}\). I faktycznie tak było, gdyż rozwiązanie równania było z tego przedziału. Ale jak na to wpadłeś to nie wiem. Podejrzewam, że tak jak ja policzyłeś "na palcach", a dopiero potem ułożyłeś właściwe równanie.

Moje rozważania przed ułożeniem równania dotyczącego ruchu biegacza i samochodu miały na celu odpowiedź na pytanie: ile składników mam uwzględnić w tym równaniu?
Można było na początku wykonać wykres ruchu biegacza i samochodu i określić wstępnie przedział do którego należy czas \(\displaystyle{ t. }\)