Matematyka.pl

1. W jakiej odległości od powierzchni Ziemi ciało krążące swobodnie wokół równika może stale przebywać nad określonym punktem kuli ziemskiej (satelita stacjonarny) ?

2. Niewielkie ciało spada na Słońce z odległości równej odległości Ziemi od Słońca. Początkowa prędkość ciała w układzie heliocentrycznym wynosi 0. Znaleźć czas po którym ciało spadnie na Słońce.

Z góry dzięki za jakieś wskazówki.
Pozdr.

Ad. 1 - Czy jesteś pewny, że to wszystkie informacje w zadaniu? Aby obiekt krążący wokół osi planety znajdował się w pozycji geostacjonarnej, jego prędkość względem powierzchni musi być równa zero, z czego wynika, że punkt na powierzchni i satelita mają taką samą prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega =\frac{d\psi}{dt}}\), natomiast ich prędkości liniowe zależą od odległości od centrum Ziemi. I tak, dla punktu na powierzchni będzie to \(\displaystyle{ v_{p}=\omega R_{Z}}\), dla satelity \(\displaystyle{ v_{s}=\omega (R_{Z}+h)}\), gdzie h to wysokość nad powierzchnią.

Wysokość h liczysz z równowagi sił: grawitacji i odśrodkowej; omega Ziemi - znane.

[ Dodano: Pon Lis 28, 2005 12:12 pm ]
Spadamy na Słońce
Z zasady zachowania energii: \(\displaystyle{ U(r_0) = E_k + U(r)}\)
\(\displaystyle{ -G\frac{mM}{r_0} = \frac{mv^2}{2} - G\frac{mM}{r}}\)
M - masa Słonca, m - masa ciała; mnożymy przez 2/m:
\(\displaystyle{ v^2 = 2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}) = 2GM\frac{r_0-r}{r_0\cdot r}}\)
wyliczamy dt z zależności: \(\displaystyle{ v = r^' = \frac{dr}{dt}}\)

\(\displaystyle{ dt = \sqrt{\frac{1}{2GM}\cdot \frac{r_0 r}{r_0 - r}}dr = \sqrt{\frac{r_0}{2GM}}\cdot \sqrt{\frac{r}{r_0-r}}dr}\)
czyli:
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{r_0}{2GM}} \Large \int_{r_1}^{r_0}{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}dr}}\)
r1 = Rs - promień Słońca (dla uproszczenia można przyjąć, że Rs = 0,
czas spadania t nie ulegnie większej zmianie, gdyż r0 jest znacznie większy od Rs)