Swego czasu Spektralny proponował uruchomienie na Forum czegoś w rodzaju projektu PolyMath, co miałoby na celu rozwiązywanie wybranego problemu otwartego poprzez dyskusje w grupie, i co - być może - skutkowałoby powstaniem wspólnej publikacji. O założeniach tego pomysłu można więcej przeczytać tutaj. Jeden z takich projektow już został zainicjowany (dotyczył tego, czy pewnik wyboru wynika z istnienia bazy przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem).
Z niedawnej dyskusji dotyczącej punktów ekstremalnych
(zobacz 347601) wynikł, jak się zdaje, dość ciekawy i prawdopodobnie otwarty problem, a mianowicie: Czy istnieje taka nieskończona, zwarta przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ K}\), że kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) ma punkt ekstremalny? Z rozwiązania zadania (b), przedstawionego w tamtej dyskusji, wynika, że jeżeli odpowiedź na powyższe pytanie jest twierdzącą, to szukana przestrzeń \(\displaystyle{ K}\) wzmacniałaby przykłady znalezione przez P. Koszmidera i G. Plebanka, bowiem \(\displaystyle{ C(K)}\) nie byłaby wówczas izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami. Może więc, przynajmniej z ,,psychologicznego" punktu widzenia, lepiej zacząć od prób wykazania, że odpowiedź brzmi: nie, czyli, że prawdziwa jest
Hipoteza 1. Każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń typu \(\displaystyle{ C(K)}\) ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych.
Gdyby to się udało, można pójść oczywiście za ciosem i zastanowić się nad czymś znacznie mocniejszym:
Hipoteza 2. Każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma
ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych. (Wiadomo, że jeżeli dana przestrzeń ma własność Radona-Nikodyma, to znalezienie takiego przenormowania jest niemożliwe; zobacz: rozwiązania zadania (a) w 347601.)
Wspólnie ze Spektralnym chcielibyśmy zachęcić wszystkich zainteresowanych do wzięcia udziału w tym projekcie i dzielenia się swoimi spostrzeżeniami, wątpliwościami i wszystkim, co może się okazać jakimś krokiem w kierunku rozwiązania tych problemów.
Aktualizacja:
Pokaż dyskusję:
Kartezjusz pisze:Zacznę pytania, które naturalnie chce się zadać, a nóż pomoże. O jakich przestrzeniach typu \(\displaystyle{ C(K)}\) już wiemy, że zachodzi Hipoteza 1? Mile też widziane dowody i odwołania do nich.
thom pisze:Wiemy, że hipoteza 1 jest prawdziwa, gdy \(\displaystyle{ C(K)}\) jest izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami, co wynika z metody rozwiązania zadania (b) w dyskusji 347601. Jest tak np. w przypadku, gdy \(\displaystyle{ K}\) jest metryzowalna (stale zakładamy, że jest nieskończona i zwarta), czyli gdy \(\displaystyle{ C(K)}\) jest ośrodkowa (zob. np. [F. Albiac, N.J. Kalton, Topics in Banach space theory, Springer 2006; Prop. 4.4.1]). Ale jest tak też oczywiście w wielu innych przypadkach, jak chociażby dla \(\displaystyle{ K=\beta\Gamma}\) (czyli dla przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_\infty(\Gamma)}\)), czy też uzwarcenia jednopunktowego \(\displaystyle{ K=\Gamma\cup\{\infty\}}\) (czyli dla przestrzeni \(\displaystyle{ c_0(\Gamma)}\)), gdzie \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest dowolnym nieskończonym zbiorem dyskretnym.
Spektralny pisze:Również, zawsze gdy w \(\displaystyle{ K}\) jest nietrywialny ciąg zbieżny, to \(\displaystyle{ C(K)}\) jest izomorficzna z hiperpłaszczyznami. Istotnie, ciąg zbieżny daje nam komplementarną kopię \(\displaystyle{ c_0}\) w \(\displaystyle{ C(K)}\), a \(\displaystyle{ c_0}\) jest oczywiście izomorficzna z hiperpłaszczyznami. Biorąc pod uwagę twierdzenie Cembranosa
pośród przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) jako te i tylko, które nie mają komplementarnych kopii \(\displaystyle{ c_0}\) możemy wywynioskować, że każdy ewentualny kontrprzykład musi być koniecznie przestrzenią Grothendiecka.
Nasuwa się następujący wniosek: jeżeli \(\displaystyle{ C(K)}\) jest kontrprzykładem, to
1. \(\displaystyle{ K}\)nie jest przestrzenią rozproszoną;
), które jest (automatycznie) komplementarne i izomorficzne z hiperpłaszczyznami, przenosząc tę własność na przestrzenie injektywne.
Okazuje się, że dla przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) sprawa jest dosyć prosta, a w zasadzie - prosto wynika z tego, co zostało już powiedziane w rozwiązaniu zadania (b) dyskusji 347601. Wybierzmy mianowicie dowolny punkt nieizolowany \(\displaystyle{ t\in K}\) i rozważmy hiperpłaszczyznę \(\displaystyle{ Y=\{f\in C(K)\colon f(t)=0\}}\) oraz przestrzeń \(\displaystyle{ X=Y\oplus\mathbb{R}}\) z normą \(\displaystyle{ \|(f,\alpha)\|=\max\{\|f\|,\vert\alpha\vert\}}\). Wówczas, jak łatwo widać, mamy izomorfizm \(\displaystyle{ X\cong C(K)}\), podczas gdy kula jednostkowa przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) nie ma żadnych punktów ekstremalnych. Rzeczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ (f,\alpha)}\) jest dowolnym punktem kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ X}\), to wobec tego, co zostało wykazane w rozwiązaniu wspomnianego zadania (b), możemy znaleźć taką niezerową funkcję \(\displaystyle{ g\in Y}\), że zarówno \(\displaystyle{ (f+g,\alpha)}\), jak i \(\displaystyle{ (f-g,\alpha)}\) leżą także w kuli jednostkowej. (Przy założeniu, że \(\displaystyle{ C(K)}\) jest izomorficzna ze swoimi hiperpłaszczyznami mieliśmy po prostu \(\displaystyle{ Y\cong Y\oplus\mathbb{R}}\).)
Otwarta zatem pozostaje hipoteza 2.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2013, o 00:19 przez miki999, łącznie zmieniany 5 razy.
Dużym otwartym problemem w analizie funkcjonalnej jest równoważność dwóch własności przestrzeni Banacha: własności Kreina-Milmana i własności Radona-Nikodyma. Własność Radona-Nikodyma implikuje własność Kreina-Milmana, nie wiadomo jednak jak jest w przypadku przeciwnym (tj. wiadomo to dla przestrzeni izomorficznych z dualami [, ] i jeszcze paru innych klas
Schachermayer 1
Jeżeli nie zachodzi implikacja KMP \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) RNP, to każdy kontrprzykład na to jest również kontrprzykładem na hipotezę 2. (Nawet więcej, kula każdego przenormowania takiego kontrprzykładu ma bardzo dużo punktów ekstremalmych.)
Tak, to pokazuje, że hipoteza 2 jest (formalnie) silniejsza niż otwarty (i bardzo trudny) problem KMP \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) RNP. Można jednak zadać pytanie, czy jest istotnie silniejsza; innymi słowy:
Pytanie 1 (wersja globalna). Przypuśćmy, że KMP \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) RNP czyli, że każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma zawiera niepusty, domknięty, wypukły i ograniczony podzbiór bez punktów ekstremalnych. Czy wynika stąd hipoteza 2?
Pytanie 1 (wersja lokalna). Czy każda przestrzeń Banacha bez własności Kreina-Milmana (a więc zawierająca pewien niepusty, domknięty, wypukły i ograniczony podzbiór bez punktów ekstremalnych) weryfikuje hipotezę 2?
Zauważmy jeszcze, że kontrprzykładów do hipotezy 2 nie da się tanio wyprodukować biorąc sumę prostą przestrzeni z własnością Radona-Nikodyma i przestrzeni bez tej własności, jak np. \(\displaystyle{ \ell_2\oplus c_0}\). Rzeczywiście, zachodzi bowiem
Obserwacja. Jeżeli przestrzeń Banacha \(\displaystyle{ X}\) zawiera komplementarną podprzestrzeń \(\displaystyle{ Y}\), izomorficzną z pewną przestrzenią, w której kula jednostkowa nie ma punktów ekstremalnych (a zatem \(\displaystyle{ Y}\) może być np. jakąkolwiek kopią nieskończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\)), to przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) również jest izomorficzna z przestrzenią, w której kula jednostkowa nie ma punktów ekstremalnych.
Dowód. Niech \(\displaystyle{ \|\cdot\|_0}\) będzie taką normą na \(\displaystyle{ Y}\), że kula jednostkowa w \(\displaystyle{ (Y,\|\cdot\|_0)}\) nie ma punktów ekstremalnych. Niech dalej \(\displaystyle{ Z}\) będzie taką domkniętą podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X=Y\oplus Z}\) i określmy nową normę na \(\displaystyle{ X}\) wzorem \(\displaystyle{ \|(y,z)\|^\prime=\max\{\|y\|_0,\|z\|\}}\). Jest ona równoważna normie \(\displaystyle{ \|\cdot\|}\), bowiem operator identycznościowy \(\displaystyle{ X\to Y\oplus_\infty Z}\) jest izomorfizmem, co wynika z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym i ciągłości tego operatora:
gdzie \(\displaystyle{ P_Y}\) i \(\displaystyle{ P_Z}\) są odpowiednio ciągłymi rzutami z \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\), a \(\displaystyle{ T}\) jest izomorfizmem z \(\displaystyle{ (Y,\|\cdot\|)}\) na \(\displaystyle{ (Y,\|\cdot\|_0)}\). Z własności przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) łatwo wynika, że również kula jednostkowa w \(\displaystyle{ (X,\|\cdot\|^\prime)}\) nie ma punktów ekstremalnych.
Co prawda, hipoteza 2 była może nieco przestrzelona, ale można spytać o jakieś inne klasy przestrzeni Banacha bez własności Radona-Nikodyma (poza tymi, które zawierają komplementarnie izomorficzne kopie nieskończenie wymiarowych \(\displaystyle{ C(K)}\)), które tę hipotezę weryfikują.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) oznacza przestrzeń operatorów zwartych na danej przestrzeni Banacha; ta przestrzeń niemal nigdy nie ma własności Radona-Nikodyma gdyż często siedzi w niej \(\displaystyle{ c_0}\). Na przykład, gdy \(\displaystyle{ X}\) ma bazę bezwarunkową to podalgebra operatorów diagonalnych (względem tej bazy) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ c_0}\). Nie mamy jednak dowodu na to, że \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\)nigdy nie ma własności Radona-Nikodyma.
Gdy \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią Hilberta, to kula \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) nie ma punktów ekstremalnych, jednak gdy \(\displaystyle{ X=\ell_p}\) przy \(\displaystyle{ p\in (1,\infty)\setminus\{2\}}\) tych punktów już jest całkiem sporo [].
Pozwolę sobie zadać pytanie pomocnicze:
Pytanie 2. Czy istnieje takie przenormowanie \(\displaystyle{ X}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_p}\), że kula \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) nie ma punktów ekstremalnych?
W tym wypadku \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) nie ma własności Radona-Nikodyma, bo \(\displaystyle{ \ell_p}\) ma bazę bezwarunkową. Byłoby czymś, gdybyśbmy pokazali, że dla każdej przestrzeni refleksywnej \(\displaystyle{ E}\) istnieje jej takie przenormowanie \(\displaystyle{ X}\), że kula \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) nie ma punktów ekstremalnych.
-- 24 lis 2013, o 22:02 --
Dorzucę garść źródeł. Charakteryzacja punktów ekstremalnych w kuli \(\displaystyle{ C(K)}\) jako funkcji przyjmujących wartości o wartości bezwględnej 1, to Lemma 5.3 z pracy []. Analogiczny opis punktów ekstremalnych kuli przestrzeni operatorów zwartych pomiędzy przestrzeniami typu \(\displaystyle{ C(K)}\) można znaleźć w pracy Lindenstrauss-Phelps.
Naszła mnie taka myśl. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią bazą Schaudera \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\). Zdefiniujmy nową normę w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{K}(X)}\) operatorów zwartych na \(\displaystyle{ X}\) wzorem
W powyższym zakładamy bez straty ogólności, że ciąg \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\) jest ogrniaczony i siedzi w kuli jednostkowej.
Okej, przypuścimy, że \(\displaystyle{ K\in \mathcal{K}(X), \|K\|^\prime = 1}\) oraz \(\displaystyle{ K = \tfrac{1}{2}K_1+ \tfrac{1}{2}K_2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ K_1, K_2\in \mathcal{K}}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ K_1}\) lub \(\displaystyle{ K_2}\) wyskakuje z (nowej) kuli jednostkowej. Mamy
\(\displaystyle{ \|K_1 + K_2\|^\prime = 2}\)
W szczególności, dla każdego \(\displaystyle{ n}\)