Matematyka.pl

Innymi słowy \(\displaystyle{ V}\) jest domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ H}\). Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in H}\). Wówczas zbiór \(\displaystyle{ V-\{x\}}\) jest również domkniętym, wypukłym i niepustym podzbiorem przestrzeni \(\displaystyle{ H}\) . Zatem z twierdzenia o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta wnioskujemy, że istnieje dokładnie jedno \(\displaystyle{ u_0 \in V-\{x\}}\) taki, że \(\displaystyle{ ||u_0 ||=\inf_{u\in V-\{x\} } ||u||=\inf_{v\in V } ||v-x||=dist(x,V)}\) . Ale \(\displaystyle{ u_0 = v_0 -x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ v_0\in V}\). Zatem udowodniliśmy, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ x\in H}\) istnieje dokładnie jedno \(\displaystyle{ v_0\in V}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ ||v_0 -x||=dist (x, V)}\) co kończy dowód.