Wielomiany Czebyszewa

Iza8723 · Post autor: **Iza8723** » 4 gru 2020, o 23:16

Niech \(\displaystyle{ u_{n}(x)=\frac{1}{n+1}T_{n+1}'(x), T_{n+1}}\) jest \(\displaystyle{ n+1}\)-wszym wielomianem Czebyszewa 1 rodzaju.
Jaki współczynnik występuje przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\) wielomianu Czebyszewa \(\displaystyle{ u_{n}}\)?
Wyznacz miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ u_{n}}\)

Bardzo bym prosiła o pokazanie jak to liczyć

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 gru 2020, o 00:15

Mamy \(T_{n+1}(x)=\cos\bigl((n+1)\arccos x\bigr)\) dla \(x\in\langle -1,1\rangle\), zaś zera tych wielomianów są jednokrotne, jest ich tyle, ile wynosi stopień i leżą one w przedziale \((-1,1)\), gdyż wielomiany Czebyszewa są ortogonalne z pewna wagą. Liczymy pochodną: \(T'_{n+1}(x)=\dfrac{(n+1)\sin\bigl((n+1)\arccos x\bigr)}{\sqrt{1-x^2}}.\) Więc zera dostajemy dla takich \(x\), dla których \(x\in(-1,1)\) oraz \((n+1)\arccos x=k\pi,\) gdzie \(k\in\ZZ\). Stąd \(\arccos x=\dfrac{k\pi}{n+1}\) i liczby po prawej muszą znaleźć się w zbiorze wartości arcus cosinusa, czyli \((0,\pi).\) Przedział otwarty, bo \(x\in\{-1,1\}\) nie są pierwiastkami wielomianów Czebyszewa. Dla jakich \(k\) to się odbędzie? Dla \(k=1,2,\dots,n\). Wszystko gra, będzie \(n\) pierwiastków (zapewnia to twierdzenie Rolle'a). Wtedy oczywiście \(x=\cos\dfrac{k\pi}{n+1}.\) Pochodne wielomianów ortogonalnych są ortogonalne z inną wagą. Więc te pochodne również z tego powodu będą miały \(n\) pierwiastków.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2020, o 00:47

Co do wiodącego współczynnika. Można najpierw użyć wzorku na \(\displaystyle{ \cos(kx)(}\) (łatwo wynika ze wzoru Eulera i wzoru de Moivre'a) i odrobiny kombinatoryki, żeby uzyskać, że współczynnikiem wiodącym w \(\displaystyle{ T_{n}(x)}\) będzie \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), czyli \(\displaystyle{ T_{n+1}}\) będzie stopnia \(\displaystyle{ n+1}\) i będzie miał wiodący współczynnik równy \(\displaystyle{ 2^{n}}\); następnie współczynnik otrzymany po zróżniczkowaniu upraszcza się z tym \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) i mamy wynik, czyli \(\displaystyle{ 2^{n}}\) właśnie.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 gru 2020, o 00:54

Ale tu zupełnie nie chodzi o współczynnik wiodący...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2020, o 00:57

Iza8723 pisze: 4 gru 2020, o 23:16
Jaki współczynnik występuje przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\) wielomianu Czebyszewa \(\displaystyle{ u_{n}}\)?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 gru 2020, o 01:01

Współczynnik wiodący nie wpływa na ortogonalność. Zauważ, że o ortogonalności wielomianów przesądzają ich zera.

Więc nie ma co przesadnie o niego dbać. Klasyczny jest ,,mój'' wzór \(T_n(x)=\cos(n\arccos x)\) dla \(x\in \langle -1,1\rangle.\)

No dobrze, było o to pytanie.

Ale przynajmniej zera dość fajnie udało mi się wyznaczyć. A ja, jako osoba zajmująca się naukowo kwadraturami, jestem szczególnie zainteresowany właśnie zerami wielomianów ortogonalnych i na to w pierwszym rzędzie zwróciłem uwagę, a współczynnik wiodący - jak widać - zignorowałem. Tak więc Twój post uzupełnia mój.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2020, o 01:04

To ja już nic nie rozumiem. Z tego, co zacytowałem, wynika (chyba że nie umiem czytać), że częścią zadania było znalezienie współczynnika wiodącego przy \(\displaystyle{ u_{n}(x)}\). Nigdzie nie twierdziłem, że wpływa on na ortogonalność…

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 gru 2020, o 01:05

Masz rację. Poczytaj, co dopisałem powyżej.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 5 gru 2020, o 11:17

\(\displaystyle{ T_{n+1}(x) = \cos[(n+1)\cos^{-1}(x)] }\)

\(\displaystyle{ T_{n-1}(x) = \cos[(n-1)\cos^{-1}(x)] }\)

Różniczkujemy równania stronami

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\frac{d[T_{n+1}(x)]}{dx} = \frac{-\sin[(n+1)\cos^{-1}(x)]}{-\sqrt{1 -x^2}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}\frac{d[T_{n-1}(x)]}{dx} = \frac{-\sin[(n-1)\cos^{-1}(x)]}{-\sqrt{1 -x^2}} }\)

Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\frac{d[T_{n+1}(x)]}{dx} - \frac{1}{n-1}\frac{d[T_{n-1}(x)]}{dx} = \frac{\sin[(n+1)\theta] - \sin[(n-1)\theta]}{\sin(\theta)} }\)

lub

\(\displaystyle{ \frac{T'_{n+1}(x)}{n+1} -\frac{T'_{n-1}(x)}{n-1} = \frac{2\cos(n\theta)\sin(\theta)}{\sin(\theta)} = 2\cos(n\theta)= 2T_{n}(x), \ \ n\geq 2.}\)

Otrzymaliśmy stosunkowo proste równanie na obliczanie pochodnych wielomianów Czebyszewa, z którego wynika, np.

\(\displaystyle{ T'_{2}(x) = 4T_{1}, }\)

\(\displaystyle{ T'_{1}(x) =T_{0}, }\)

\(\displaystyle{ T'_{0}(x) = 0. }\)

Z równania tego możemy określić, wartość współczynnika przy najwyższej potędze pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ T_{n+1} }\) równą \(\displaystyle{ 2^{n}, }\) którą podał Premislav.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 20 kwie 2024, o 20:30

Premislav pisze: 5 gru 2020, o 00:47 Co do wiodącego współczynnika. Można najpierw użyć wzorku na \(\displaystyle{ \cos(kx)(}\) (łatwo wynika ze wzoru Eulera i wzoru de Moivre'a) i odrobiny kombinatoryki, żeby uzyskać, że współczynnikiem wiodącym w \(\displaystyle{ T_{n}(x)}\) będzie \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\),

Tak właściwie to można go obliczyć bez zespolonych
I to będzie bardziej ogólny sposób bo zadziała także i dla wielomianów Legendre'a , wielomianów Hermite'a czy wielomianów Laguerre'a

Ukryta treść:

\(\displaystyle{
\Large
{
T_{n}\left( x\right) = \cos{\left( n \cdot \arccos{x}\right) }\\
t = \arccos{x}\\
y\left( t\right) = \cos{\left( nt\right) }\\
y'\left( t\right) = -n\sin{\left(nt \right) }\\
y''\left( t\right) = -n^2\cos{\left( nt\right) }\\
y''\left( t\right) = -n^2y\left( t\right)\\
y''\left( t\right) + n^2y\left( t\right) = 0\\
}
}\)
Zastosujmy w powyższym równaniu zamianę zmiennej niezależnej
\(\displaystyle{
\Large
{
y''\left( t\right) + n^2y\left( t\right) = 0\\
t = \arccos{x}\\
x = \cos{\left( t\right) }\\
\frac{ \dd x }{ \dd t} = -\sin{\left( t\right) }\\
\frac{ \dd x }{ \dd t} =-1 \cdot \left( \pm\sqrt{1-x^2}\right) \\
\frac{ \dd y}{ \dd t} = \frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \frac{ \dd x }{ \dd t} \\
\frac{ \dd y}{ \dd t} = \frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \left(-1 \cdot \left( \pm\sqrt{1-x^2}\right) \right) \\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \frac{ \dd }{ \dd t} \left( \frac{ \dd y}{ \dd t} \right) \\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \frac{ \dd }{ \dd x} \left(\frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \frac{ \dd x }{ \dd t} \right) \cdot \frac{ \dd x }{ \dd t}\\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \frac{ \dd }{ \dd x}\left(\frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \left( -1 \cdot \left( \pm\sqrt{1-x^2}\right)\right) \right) \cdot \left( -1 \cdot \left( \pm\sqrt{1-x^2}\right)\right) \\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{ \dd }{ \dd x}\left(\frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \sqrt{1-x^2} \right) \\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \sqrt{1-x^2} \cdot \left(\frac{ \dd^2 y}{ \dd x^2} \cdot \sqrt{1-x^2} +\frac{ \dd y}{ \dd x} \cdot \frac{\left( -x\right) }{ \sqrt{1-x^2} } \right) \\
\frac{ \dd^2 y}{ \dd t^2} = \left( 1-x^2\right) \frac{ \dd^2 y}{ \dd x^2} - x \cdot \frac{ \dd y}{ \dd x}\\
y''\left( t\right) + n^2y\left( t\right) = 0\\
\left( 1-x^2\right) \frac{ \dd^2 y}{ \dd x^2} - x \cdot \frac{ \dd y}{ \dd x}+n^2y\left( x\right) = 0\\
}
}\)
Znajdźmy całkę szczególną powyższego równania będącą wielomianem
Przyjmijmy że rozwiązanie jest w postaci szeregu potęgowego
\(\displaystyle{
\Large
{
\left( 1-x^2\right) \frac{ \dd^2 y}{ \dd x^2} - x \cdot \frac{ \dd y}{ \dd x}+n^2y\left( x\right) = 0\\
y\left( x\right) = \sum\limits_{m=0}^{ \infty }c_{m}x^{m}\\
\left( 1-x^2\right)\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right)-x\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }mc_{m}x^{m-1} \right)+n^2\left( \sum\limits_{m=0}^{ \infty }c_{m}x^{m}\right) = 0\\
\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right) - x^2\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right)-x\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }mc_{m}x^{m-1} \right)+n^2\left( \sum\limits_{m=0}^{ \infty }c_{m}x^{m}\right) = 0\\
\left(\sum\limits_{m=2}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right) - \left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m} \right)-\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }mc_{m}x^{m} \right)+n^2\left( \sum\limits_{m=0}^{ \infty }c_{m}x^{m}\right) = 0\\
\left(\sum\limits_{m=2}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right)-\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left(m\left( m-1\right)+m-n^2 \right)c_{m}x^{m} \right) =0\\
\left(\sum\limits_{m=2}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right)-\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left(m^2-n^2 \right)c_{m}x^{m} \right) =0\\
\left(\sum\limits_{m=2}^{ \infty }m\left( m-1\right) c_{m}x^{m-2} \right)-\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left( m-n\right)\left( m+n\right) c_{m}x^{m} \right) =0\\
\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left( m+2\right) \left( m+1\right) c_{m+2}x^{m} \right)-\left(\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left( m-n\right)\left( m+n\right) c_{m}x^{m} \right) =0\\
\sum\limits_{m=0}^{ \infty }\left(\left( m+2\right) \left( m+1\right) c_{m+2}-\left( m-n\right)\left( m+n\right) c_{m}\right)x^{m} = 0\\
\left( m+2\right) \left( m+1\right) c_{m+2}-\left( m-n\right)\left( m+n\right) c_{m} = 0\\
}
}\)
Teraz możemy wyznaczyć z tego równania albo \(\displaystyle{ c_{m}}\) albo \(\displaystyle{ c_{m+2}}\)
Wyznaczmy \(\displaystyle{ c_{m}}\)
\(\displaystyle{
\Large
{
\left( m+2\right) \left( m+1\right) c_{m+2}-\left( m-n\right)\left( m+n\right) c_{m} = 0\\
\left( m-n\right)\left( m+n\right)c_{m} = \left( m+2\right) \left( m+1\right) c_{m+2}\\
c_{m} = \frac{\left( m+2\right) \left( m+1\right)}{\left( m-n\right)\left( m+n\right)}c_{m+2}\\
m := m-2\\
c_{m-2} = \frac{m\left( m-1\right)}{\left( m-2-n\right)\left( m-2+n\right)}c_{m}\\
c_{m-4} = \frac{\left( m-2\right)\left( m-3\right) m\left( m-1\right)}{\left( m-4-n\right)\left( m-2-n\right)\left( m-4+n\right)\left( m-2+n\right)}c_{m}\\
c_{m-6} = \frac{\left( m-4\right)\left( m-5\right)\left( m-2\right)\left( m-3\right) m\left( m-1\right)}{\left( m-6-n\right)\left( m-4-n\right)\left( m-2-n\right)\left( m-6+n\right)\left( m-4+n\right)\left( m-2+n\right)}c_{m}\\
c_{m-6} = \frac{\left( m-6\right)! \left( m-4\right)\left( m-5\right)\left( m-2\right)\left( m-3\right) m\left( m-1\right)}{\left( m-6\right)! \left( m-6-n\right)\left( m-4-n\right)\left( m-2-n\right)\left( m-6+n\right)\left( m-4+n\right)\left( m-2+n\right)}c_{m}\\
c_{m-6} = \frac{m!}{\left( m-6\right)! \left( m-6-n\right)\left( m-4-n\right)\left( m-2-n\right)\left( m-6+n\right)\left( m-4+n\right)\left( m-2+n\right)}c_{m}\\
c_{m-2k} = \frac{m!}{\left( m-2k\right)!\left( m-2k-n\right)\cdot_\cdots\cdot \left( m-6-n\right)\left( m-4-n\right)\left( m-2-n\right)\left( m-2k+n\right)\cdot\left( m-2\left( k-1\right) +n\right)\cdot_\cdots\cdot\left( m-6+n\right)\left( m-4+n\right)\left( m-2+n\right) } c_{m}\\
m = n\\
c_{n-2k} = \frac{n!}{\left( n-2k\right)!\left( -2\right)\left( -4\right)\left( -6\right) \cdot _\cdots\left( -2k\right) \cdot \left( 2n-2\right)\left(2n-4 \right)\cdot_\cdots\left( 2n-2\left( k-1\right) \right) \cdot \left( 2n-2k\right) }c_{n}\\
c_{n-2k} = \frac{n!}{\left( n-2k\right)! \cdot \left( -1\right)^k \cdot 2^{2k} \cdot 1 \cdot 2 \cdot _\cdots\cdot k \cdot\left( n-k\right) \cdot \left( n-1\right) \cdot \left( n-2\right) \cdot _\cdots\cdot\left( n-\left( k-1\right) \right) }c_{n} \\
c_{n-2k} = \frac{\left( -1\right)^k \cdot n! }{\left( n-2k\right)! \cdot k! \cdot 2^{2k}\left( n-k\right) \cdot \left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdot _\cdots \cdot \left( n-\left( k-1\right) \right) }c_{n}\\
c_{n-2k} = \frac{\left( -1\right)^k \cdot n! \cdot n \cdot \left( n-k\right)! }{\left( n-2k\right)! \cdot k! \cdot 2^{2k}\left( n-k\right) \cdot \left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdot _\cdots \cdot \left( n-\left( k-1\right) \right) \cdot n \cdot \left(n-k \right)! }c_{n}\\
c_{n-2k} = \frac{\left( -1\right)^k \cdot n! \cdot n \cdot \left( n-k\right)! }{\left( n-2k\right)! \cdot k! \cdot 2^{2k}\left( n-k\right) \cdot n! }c_{n}\\
c_{n-2k} = \frac{\left( -1\right)^k \cdot n \cdot \left( n-k\right)! }{\left( n-2k\right)! \cdot k! \cdot 2^{2k}\left( n-k\right) }c_{n}\\
c_{n-2k} = \frac{\left( -1\right)^k }{2^{2k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \\
}
}\)
Całką szczedólną równania różniczkowego jest zatem
\(\displaystyle{
\Large
{
y_{1}\left( x\right) = c_{n}\left( \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^k }{2^{2k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \cdot x^{n-2k} \right)\\
y_{1}\left( x\right) = c_{n}\left( \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^k }{2^{n}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \cdot 2^{n-2k} \cdot x^{n-2k} \right)\\
y_{1}\left( x\right) = c_{n}\left( \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^k }{2^{n}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \cdot \left( 2x\right)^{n-2k} \right)\\
}
}\)
Teraz wiemy że \(\displaystyle{ T_{n}\left( 1\right) = 1}\)
\(\displaystyle{
\Large
{
T_{n}\left( 1\right) = 1\\
c_{n}\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^k }{4^{k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \right) =1\\
}
}\)

Do obliczenia współczynnika wiodącego potrzebujemy sumy
\(\displaystyle{
\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^k }{4^{k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k}
}\)

W ukrytych obliczeniach pokazałem skąd się ta suma wzięła

A poza tym ten twój wzór na współczynnik wiądący jest poprawny dla \(\displaystyle{ n > 0}\)
tak samo jak i postać ogólna tego wielomianu wyprowadzona przez rozwiązanie równania różniczkowego

Dodano po 27 dniach 10 godzinach 55 minutach 55 sekundach:
Poprawny wzór na współczynnik wiodący można wyrazić za pomocą delty Kroneckera

\(\displaystyle{ c_{n} = \left( 1+\delta_{n0}\right) \cdot 2^{n-1} }\)

Wielomian Czebyszowa będzie można wtedy zapisać następująco

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right) = \left( 1+\delta_{n0}\right) \cdot 2^{n-1}\left(x^{n}+\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^{k} }{2^{n}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} \cdot \left( 2x\right)^{n-2k} \right) }\)
ale aby to otrzymać bez zespolonych to musielibyśmy policzyć sumę
\(\displaystyle{ 1+ \sum\limits_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\frac{\left( -1\right)^{k} }{4^{k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k} }\)

Dodano po 4 miesiącach 28 dniach 18 godzinach 57 minutach 30 sekundach:
Jakiego Czebyszewa , tam jest jo (w cyrylicy jest to takie e z dwoma kropeczkami u góry)

Jeżeli chodzi o wielomiany Czebyszowa to łatwo podać postać iloczynową tych wielomianów

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\cos{\left( n\arccos{x}\right) } \\
\cos{\left( n\arccos{x}\right) } = 0\\
n\arccos{x} = \frac{\pi}{2} + k\pi\\
n\arccos{x} = \frac{\left(1+2k\right)\pi}{2}\\
\arccos{x} = \frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\\
k:=k-1\\
\arccos{x} = \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\\
x_{k} = \cos{\left( \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right) }\\
T_{n}\left( x\right) = a \prod\limits_{k=1}^{n}\left( x - \cos{\left( \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right) }\right)\\
}\)

Współczynnik \(\displaystyle{ a}\) obliczamy z warunku \(\displaystyle{ T_{n}\left( 1\right) = 1 }\)

\(\displaystyle{
T_{n}\left( 1\right) = 1\\
T_{n}\left( 1\right) = a \prod\limits_{k=1}^{n}\left( 1 - \cos{\left( \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right) }\right)\\
1 = a \prod\limits_{k=1}^{n}\left( 1 - \cos{\left( \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right) }\right)\\
a = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{1 - \cos{\left( \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right) }}\\
}\)

Matematyka.pl

Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa

Re: Wielomiany Czebyszewa