Matematyka.pl

W twierdzeniu Dirichlet`a jest założenie, że x jest liczbą niewymierną. W którym miejscu w dowodzie tego twierdzenia istotnie korzysta się z tego założenia i czy teza twierdzenia zachodzi dla liczb wymiernych?

Możesz je przypomnieć?

Dla dowolnej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \alpha}\)i dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ Q}\) istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 0<q \le Q}\) takie, że spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \left| q \cdot \alpha-p \right| < \frac{1}{Q}}\). Dowód korzysta z zasady szufladkowej.

Przyjmijmy na chwilę,że Q i \(\displaystyle{ \alpha}\) dane Niech na chwilę będzie liczbą z przedziału (0,1)
Wówczas możemy podzielić nasz przedział na Q równych części i Wybudujmy przedział [0,\(\displaystyle{ alpha}\)] Niewymierność nam gwarantuje,że dla żadnego Q koniec odcinka znajdzie się na linii
podziału.Teraz weźmy ciągi tworzone w taki sposób,że
\(\displaystyle{ q_{1}:=\sup{n: q \alpha<1}}\)
\(\displaystyle{ p_{1}:=1-q_{1}\alpha}\)
\(\displaystyle{ p_{1}}\) jest rzecz jasna liczbą niewymierną
Działamy indukcyjnie dalej:
\(\displaystyle{ q_{n+1}=sup{k:p_{n}\alpha<1}}\)
\(\displaystyle{ p_{n+1}=1-q_{n+1}p_{n}}\)Zauważmy,że ciąg \(\displaystyle{ p_{n}}\) jest malejący czyli w pewnym momencie któryś element ciągu będzie mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{Q}}\)A o to nam chodziło Gdy robimy dowolną liczbę większą od różną od tego przedziałuwówczas odtwarzamy rozumowanie tyle,że odcinek dzielimy na \(\displaystyle{ ([\alpha]+1)Q}\),bo jeżeli dla tego się spełni,do dla Q też. Odtwarzamy nasze rozumowanie do momentu,aż nasz \(\displaystyle{ p_{n}}\) będzie mniejszy od 1