Matematyka.pl

Jak obliczyć pole krzywej wycietej z \(\displaystyle{ x^5+y^5=6752}\) przez \(\displaystyle{ x+y= 2}\) ? punkty przeciecia \(\displaystyle{ (-4, 6)}\) oraz \(\displaystyle{ (6,-4)}\).

Krzywa jest symetryczna względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), więc szukane pole to podwojone pole pod \(\displaystyle{ y=x}\), które można rozciąć na dwa obszary normalne (z których jeden jest trójkątem prostokątnym równoramiennym).

\(\displaystyle{ P=2\left[ ( \sqrt[5]{ \frac{6752}{2} }-1)^2+ \int_{\sqrt[5]{ \frac{6752}{2}}}^{6}\left( \sqrt[5]{6752-x^5}-(2-x) \right) dx \right] }\)
Moim zdaniem fragment \(\displaystyle{ \int\sqrt[5]{6752-x^5}dx}\) jest nieelementarny, więc pozostają jedynie metody przybliżone.