Matematyka.pl

Znaleźć maksymalne przedziały (półproste), na których funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+x^2} }\) jest monotoniczna.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wykażę, że funkcja jest rosnąca w \(\displaystyle{ (-\infty,0>}\) i malejąca w \(\displaystyle{ <0,\infty)}\).
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ 0 \le x_1<x_2}\) i przekształćmy równoważnie tezę:
\(\displaystyle{ f(x_1)> f(x_2) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1^2}>\frac{1}{1+x_2^2} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 1+x_2^2>1+x_1^2 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_1+x_2)>0}\) i teraz
\(\displaystyle{ x_2-x_1>0}\) z założenia i \(\displaystyle{ x_1+x_2>0}\) z założenia, a zatem ostatnia nierówność jest prawdziwa, czyli funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ <0,\infty)}\).
Analogicznie ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1<x_2 \le 0}\) i przekształćmy równoważnie tezę:
\(\displaystyle{ f(x_1)< f(x_2) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1^2}<\frac{1}{1+x_2^2} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 1+x_2^2<1+x_1^2 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_1+x_2)<0}\) i teraz
\(\displaystyle{ x_2-x_1>0}\) z założenia i \(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\) z założenia, a zatem znowu ostatnia nierówność jest prawdziwa, czyli funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0>}\).

Czy tak jest dobrze?

można też obliczyć \(\displaystyle{ f(x_1) - f(x_2)}\)...

No ok, ale tak jak zrobiłem jest ok, zgadza się?

Pierwsza część jest dobrze( tylko może trzeba by jeszcze sprawdzić, czy nie ma dłuższej takiej półprostej... ).
Ale tu:

max123321 pisze: ↑22 sie 2023, o 01:46 Analogicznie ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1<x_2 \le 0}\) i przekształćmy równoważnie tezę:
\(\displaystyle{ f(x_1)< f(x_2) \Leftrightarrow }\)
[...]
czyli funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0>}\).

to tak nie udowadnia się, że funkcja jest silnie malejąca- gdyż funkcja silnie malejąca, to taka, że wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją...
Ty pokazałeś tutaj, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest tutaj silnie rosnąca...

Jet OK, tylko w drugiej części robiąc copy-paste zapomniałeś zamienić słowo malejąca na rosnąca

Aha no faktycznie, dzięki Wam za sprostowanie.