Matematyka.pl

Udowodnić, że złożenie funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wykażę, że złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
Mamy funkcje \(\displaystyle{ f:D_f \rightarrow D_g}\) i \(\displaystyle{ g:D_g \rightarrow \RR}\), które są rosnące na swoich dziedzinach czyli
\(\displaystyle{ \forall x_1,x_2\in D_f: x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}\) i
\(\displaystyle{ \forall y_1,y_2\in D_g: y_1<y_2 \Rightarrow g(y_1)<g(y_2)}\)
i niech \(\displaystyle{ h(x)=g(f(x))}\).
Ustalmy \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in D_f}\) takie, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)}\) i niech \(\displaystyle{ y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)}\). Mamy \(\displaystyle{ y_1,y_2 \in D_g}\) i wiemy, że skoro \(\displaystyle{ y_1<y_2}\) to
\(\displaystyle{ g(y_1)<g(y_2)}\), a zatem
\(\displaystyle{ g(f(x_1))<g(f(x_2))}\) czyli
\(\displaystyle{ h(x_1)<h(x_2)}\)
Czyli to co należało wykazać, że to złożenie jest funkcją rosnącą.

Czy tak jest dobrze?

Ale masz do pokazania troche więcej: np że złożenie rosnącej z malejącą jest ....?

Aha no dobra faktycznie, nie dopatrzyłem tego. Ok to spróbuję pokazać, że złożenie rosnącej z malejącą jest malejącą funkcją.
Weźmy funkcję \(\displaystyle{ f:D_f \rightarrow D_g}\) rosnącą i \(\displaystyle{ g:D_g \rightarrow \RR}\) malejącą. I niech \(\displaystyle{ h(x)=g(f(x))}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in D_f: x_1<x_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)}\) bo \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca. Niech \(\displaystyle{ f(x_1)=y_1}\) i \(\displaystyle{ f(x_2)=y_2}\). Skoro \(\displaystyle{ y_1<y_2}\) to \(\displaystyle{ g(y_1)>g(y_2)}\) bo \(\displaystyle{ g}\) jest malejąca. Zatem \(\displaystyle{ g(f(x_1))>g(f(x_2))}\) czyli \(\displaystyle{ h(x_1)>h(x_2)}\) dla \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), zatem złożenie \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją malejącą co kończy dowód.

Czy tak jest dobrze?

Dobrze.

Dodano po 10 dniach 12 godzinach 11 minutach 43 sekundach:

a4karo pisze: ↑23 sie 2023, o 22:42 Ale masz do pokazania troche więcej: np że złożenie rosnącej z malejącą jest ....?

Nawet do pokazania jest jeszcze więcej:

max123321 pisze: ↑23 sie 2023, o 22:27 Udowodnić, że złożenie funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną.

A funkcja monotoniczna to funkcja słabo rosnąca lub funkcja słabo malejąca, więc nie wiem jak to obejść...

(Znam twierdzenie mówiące, że funkcja z podzbioru zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiste jest funkcją silnie rosnącą, dokładnie wtedy, gdy jest funkcją słabo rosnącą i jest funkcją różnowartościową; i podobny fakt znam dla funkcji silnie malejących; ale nie wiem czy to może tutaj pomóc ... Chyba, żeby sprawdzić wiele przypadków, i skorzystać z faktu mówiącego, że złożenie funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową , może w ten sposób ).

Jakub Gurak pisze: ↑3 wrz 2023, o 20:31A funkcja monotoniczna to funkcja słabo rosnąca lub funkcja słabo malejąca, więc nie wiem jak to obejść...

Ale co chcesz obchodzić?

JK

Np. funkcja słabo rosnąca nie musi być funkcją silnie rosnącą (może przyjmować te same wartości, i w tym jest problem); więc nie idzie zastosować tu faktu o złożeniu dwóch funkcji silnie rosnących; podobnie jest dla funkcji słabo malejących...

Że co?

Dowód, że złożenie dwóch funkcji słabo rosnących jest funkcją słabo rosnąca jest identyczny jak dowód, że złożenie dwóch funkcji silnie rosnących jest funkcją silnie rosnącą. Nie zauważyłeś tego?

JK

Chyba że tak, nie zastanawiałem się.
Tym niemniej, osłabiliście tezę zadania do trochę słabszego warunku...
I trzeba by tu jeszcze przeprowadzić dwa dowodziki, najpierw na złożenie funkcji słabo rosnącej ze funkcją słabo malejącą, no i odnośnie złożenia dwóch funkcji słabo malejących, i złożenia funkcji słabo malejącej z funkcją słabo rosnącą... Jednak niczego z tego nie kazaliście robić, to jest jednak zmiana treści zadania na słabszy warunek...

Oczywiście, że nie. To kwestia terminologii. Z pierwszego posta jasno wynika, że autor pod pojęciem funkcji monotonicznej rozumie funkcję ściśle monotoniczną. I tyle.


A owi "wy" to kto według ciebie?

Jakub Gurak pisze: ↑4 wrz 2023, o 12:39Jednak niczego z tego nie kazaliście robić, to jest jednak zmiana treści zadania na słabszy warunek...

Nie kazaliśmy, bo to forum matematyczne, a nie obóz wojskowy.

A treść zadania nie jest zmieniona. Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca lub malejąca. Natomiast to, czy przez funkcję rosnącą/malejąca rozumiemy funkcję ściśle rosnącą/malejącą, czy słabo rosnącą/malejącą jest kwestią przyjętej definicji tego pojęcia i wystarczy rozpatrzyć którąkolwiek z wersji, by wypełnić polecenie zadania.

JK

@max123321.
A jak chcesz to zrobić bez analizy przypadków, to wystarczy zauważyć, że funkcja jest rosnąca (malejąca) wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=1\ (-1)}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{f(g(x))-f(g(y))}{x-y}=\frac{f(g(x))-f(g(y))}{g(x)-g(y)}\cdot\frac{g(x)-g(y)}{x-y}}\), więc
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn}\frac{f(g(x))-f(g(y))}{x-y}=\mathrm{sgn}\frac{f(g(x))-f(g(y))}{g(x)-g(y)}\cdot\mathrm{sgn}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}}\)