Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z zadaniami typu wykaz ze jest to injekcja, lub , surjekcja, lub bijecka.

Znam potrzebne definicje ale jak widze zadanie to nie wiem od czego zaczac. Jak sie to robi krok po korku?

Moglby ktos mi wytlumaczyc i napisac przyklad ja sprobuje zrobic.

Podaj te definicje, które znasz i powiedz, jak je rozumiesz, będzie łatwiej to wytłumaczyć w ten sposób.

Np.
injekcja , funkcja roznowartosciowa, dla dowolnych dwoch argumentow przyjmuje rozne wartosci:

def: dla kazdego \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in X x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)}\)

Dobrze. A suriekcja i bijekcja?

Suriekcja funkcja ktorej zbior wartosci jest rowny zbiorowi Y a bijekcja to jest surjekcja+injekcja.

Okej. Spróbuj określić czy poniższa funkcja jest iniekcją, suriekcją i bijekcją.

\(\displaystyle{ f: \left( 1,+ \infty \right) \rightarrow \left<0,+\infty \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=log_{2}{x}}\)

Widac , że jest bijekcją.
Ale nie wiem jak to udowodnic, zapisac formalnie.-- 23 paź 2013, o 19:39 --Chociaz moze jest tylko surjekcja, bo jest rowna -(ujemne) coś dla pewnych x ow

Nie jest bijekcją. Aby udowodnić, że jest bijekcją, musisz wiedzieć czy jest suriekcją i iniekcją.

Zacznijmy od sprawdzenia czy funkcja jest różnowartościowa. Najłatwiej jest zapisać samo twierdzenie:
\(\displaystyle{ \forall x_1,x_2 \in X \left( x_1 \neq x_2 \right)\Rightarrow \Leftrightarrow \left( f(x_1) \neq f(x_2)\right)}\)
Teraz warto narysować wykres funkcji (zawsze warto, jeśli jest to możliwe) i już tylko z niego można zauważyć, że powyższa funkcja spełnia warunek podany wyżej \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest iniekcją. Innym sposobem na udowodnienie tego, jest napisanie, że funkcja jest ciągła i stale rosnąca, a więc nie może mieć dwóch punktów, w których przyjmuje tę samą wartość dla różnych argumentów.

Z wykresu funkcji widać, że funkcja nie jest suriekcją, ale aby to wykazać najłatwiej jest posłużyć się takim zapisem:
\(\displaystyle{ D_f = \left( 1,+ \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ ZW_f = \left(0,+\infty \right)}\)
\(\displaystyle{ Y = \left<0,+\infty \right)}\)
Jak widać - znajdziemy igrek w przeciwdziedzinie, dla którego brakuje argumentu (kontrprzykład dowodzący, iż nie jest to suriekcja). Zapisujemy to na przykład tak:
\(\displaystyle{ ! \exists x \in D_f : f(x)=0}\)
Czyli - zbiór wartości funkcji jest uboższy, niż przeciwdziedzina, więc funkcja nie może być suriekcją.

Z powyższego wynika, że funkcja nie jest bijekcją (bo nie jest suriekcją).

No tak czyli jest iniekcją, bo jesli narysujemy sobie prostą rownleglą do osi Y bedzie ona przecinac ta funkcje tylko w jednym miejscu.

-- 23 paź 2013, o 19:51 --

Ok to daj jeszcze jakis przyklad, sprobuje udowodnic czym jest albo czym nie jest, uzywajac np kontrprzykład.-- 23 paź 2013, o 19:56 --I jesli dobrze rozumiem mozna tak zaciesnic zbior wartosci albo rozszerzyc zbior argumentow zeby tak funkcja stala sie bijekcja.

No tak czyli jest iniekcją, bo jesli narysujemy sobie prostą rownleglą do osi Y bedzie ona przecinac ta funkcje tylko w jednym miejscu.

Dokładnie.

Ok to daj jeszcze jakis przyklad, sprobuje udowodnic czym jest albo czym nie jest, uzywajac np kontrprzykład.

\(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \left\langle 1, +\infty \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|+2}\)

I jesli dobrze rozumiem mozna tak zaciesnic zbior wartosci albo rozszerzyc zbior argumentow zeby tak funkcja stala sie bijekcja.

Gdyby przeciwdziedzina nie zawierała w sobie zera albo gdyby dziedzina funkcji zawierała jeden, to funkcja byłaby bijekcją, ale ten mały "szczegół" jest tu bardzo ważny.

Wiec tak np dla jedynki nie znajdzie się odpowiadający argument. Jesli narysuje sobie funkcje to jej najnizsza wartosc jest rowna 2. Wiec nie jest surjekcją.

Nie jest injekcja bo sa dwa takie argumenty dla ktorych funkcja przyjmuje tą samo wartosc.
\(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\)
\(\displaystyle{ 1 \neq -1}\)

Do przećwiczenia takich pojęć ja mam zawsze jeden świetny przykład:

Które z poniższych funkcji są iniekcją, surjekcją, bijekcją:

\(\displaystyle{ a: (0,+\infty)\ni x\mapsto x^2 \in (0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ b: (0,+\infty)\ni x\mapsto x^2 \in \RR}\)

\(\displaystyle{ c: \RR\ni x\mapsto x^2 \in (0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ d: \RR\ni x\mapsto x^2 \in \RR}\)

Wiec tak np dla jedynki nie znajdzie się odpowiadający argument. Jesli narysuje sobie funkcje to jej najnizsza wartosc jest rowna 2. Wiec nie jest surjekcją.

\(\displaystyle{ ! \exists x \in D_f : f(x)=1 \Rightarrow}\) nie jest suriekcją.

Nie jest injekcja bo sa dwa takie argumenty dla ktorych funkcja przyjmuje tą samo wartosc.

\(\displaystyle{ f(-1)=f(1)=3}\)
\(\displaystyle{ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)}\)
Implikacja nieprawdziwa \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) funkcja nie jest iniekcją.

Dobrze. Już wszystko jasne?

parabola, ramiona do góry, wierzcholek w punkcie (0,0)

a: bijekcja
b: iniekcja
c: surjekcja
d: zadna

-- 23 paź 2013, o 20:33 --

Tak to jest chyba jest, pocwicze sobie jkeszcze i powinno byc ok. Dzięki.
Ale tu patrze sobie w książce i nagle takie zadanie:

Jesli f : X\(\displaystyle{ \rightarrow}\)Y jest bijekcją, to dla \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) symbol \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) wydaje sie niejednoznaczny, gdyż może być rozumiany jako przeciwobraz zbioru B w odwzorowaniu f, lub obraz zbioru B w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f^{-1}}\). Wykazać, że te dwa zbiory są równe, więc trudnosc nie powstaje.

Widac , że tak jest ale jak powinienem takie coś zapisac formalnie...tego już nie wiem. Jak se zabierac za takie zadania?-- 23 paź 2013, o 20:56 --Pewnie z definicji obrazu i przeciwobrazu, ale nie wiem jak je zastosowac zeby cos wykazac. W jakiej kolejnosci , co najpierw trzeba pokazac.