Matematyka.pl

1. Wykaż, że jeżeli funkcje g i h są określone w tym samym zbiorze i są rosnące, to funkcja określona wzorem f(x)= g(x) + h(x) jest rosnąca.

2. Przedstaw funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x-2}}\) określoną w zbiorze R{-2;2} jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.

3. Udowodnij, że jeżeli funkcje f i g są nieparzyste, to:
a) funkcja h(x) = f(x) + g(x) jest nieparzysta;
b) funkcja h(x) = f(x) x g(x) jest parzysta.

4. Udowodnij, że jeżeli 0 należy do dziedziny funkcji nieparzystej f, to f(0) = 0.

5. Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x}{x ^{2} + 1 }}\).
a) Wykaż, że funkcja f jest nieparzysta.
b) Wykaż, że zbiór wartości funkcji f zawiera się w zbiorze .

6. Korzystając z definicji funkcji różnowartościowej wykaż, że funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x ^{3} + 2x - 3}\) jest różnowartościowa.

7. Funkcja f określana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{2} - 1}{x}}\).
a) Wykaż, że zbiorem wartości funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.
b) Uzasadnij, że funkcja f jest różnowartościowa.

Dziękuję z góry za pomoc.

Zad.1
Z definicji:
Jeśli \(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)>0}\), to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.

Zatem, skoro funkcje \(\displaystyle{ g(x)}\) i \(\displaystyle{ h(x)}\) są rosnące, to prawdą jest:
\(\displaystyle{ g(x+1)-g(x)>0}\) i \(\displaystyle{ h(x+1)-h(x)>0}\)

\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=\\=
[g(x+1)+h(x+1)]-[g(x)+h(x)]=[g(x+1)-g(x)]+[h(x+1)-h(x)]>0}\)

Zad. 6

\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+2x-3}\)

\(\displaystyle{ D_{f}=\mathbb R}\)

założenie: \(\displaystyle{ x_{1} x_{2} x_{1}, x_{2} D_{f}}\)

\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=x^{3}_{1}+2x_{1}-3-x^{3}_{2}-2x_{2}+3=x^{3}_{1}-x^{3}_{2}+2x_{1}-2x_{2}=}\)

\(\displaystyle{ =(x_{1}-x_{2})(x^{2}_{1}+x_{1}x_{2}+x^{2}_{2})+2(x_{1}-x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x^{2}_{1}+x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}+2)}\)

\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} 0}\)- z założenia \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2}_{1}+x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}+2=\left(\frac{2x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}x_{2}}{2}\right)^{2}+2 0}\)

\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})\neq 0}\), czyli dana funkcja jest różnowartościowa

c.n.d.

Zad.5
a) \(\displaystyle{ f(-x)=\frac{2(-x)}{(-x)^2+1}=-\frac{2x}{x^2+1}=-f(x)}\)
b) \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ f_{max}(x)=f(1)=1\\ f_{min}(x)=f(-1)=-1}\)

Zad. 7

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}}\)

\(\displaystyle{ D_{f}=\mathbb R\backslash \{0\}}\)

b) założenie: \(\displaystyle{ x_{1} x_{2} x_{1}, x_{2} D_{f}}\)

\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x^{2}_{1}-1}{x_{1}}-\frac{x^{2}_{2}-1}{x_{2}}=\frac{x^{2}_{1}x_{2}-x_{2}-x^{2}_{2}x_{1}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})+(x_{1}-x_{2})}{x_{1}x_{2}}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}+1)}{x_{1}x_{2}}}\), czyli dana funkcja nie jest różnowartościowa

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} 0}\)- z założenia \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \mathbb R\backslash \{0\}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} 0}\)- założenia \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+1 0 \iff x_{1}x_{2} -1}\)

Weź np. \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{5}}\) i \(\displaystyle{ x=5}\).

Sprawdź czy dobrze przepisałeś.

Mersenne pisze:\(\displaystyle{ x^{2}_{1}+x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}+2=\left(\frac{2x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}x_{2}}{2}\right)^{2}+2 > 0}\)

nie rozumiem, skąd to się wzięło, byłbym wdzięczny za wytłumaczenie.