Matematyka.pl

Przepiszmy to:

(*) \(\displaystyle{ f\left[ xf(y)-y\right] +f(xy-x)+f(x+y)=2xy}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ x=y=0}\)

\(\displaystyle{ 3f(0)=0 }\)

\(\displaystyle{ f(0)=0}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ x=0 }\)

\(\displaystyle{ f(-y)+f(0)+f(y)=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(-y)=-f(y)}\)

teraz podstawmy do (*) \(\displaystyle{ x=-1}\)

\(\displaystyle{ f\left( -f(y)-y\right) +f(-y+1)+f(y-1)=-2y}\)

lub:

\(\displaystyle{ - f\left( f(y)+y\right) -f(y-1)+f(y-1)=-2y/:(-1)}\)

ostatecznie otrzymamy:

\(\displaystyle{ f\left( f(y)+y\right) =2y}\)

lub:

(**) \(\displaystyle{ f\left( f(x)+x\right) =2x}\)

ustalmy jakieś \(\displaystyle{ a \in \RR}\)

takie, że:

\(\displaystyle{ f(a)=b}\)

podstawiajmy teraz to do : (**)

otrzymamy: dla: \(\displaystyle{ x=a}\)

\(\displaystyle{ f\left( f(a)+a\right) =2a}\)

\(\displaystyle{ f\left( b+a\right) =2a}\)

teraz postawmy:

\(\displaystyle{ x=b+a}\) znowu do : (**)

\(\displaystyle{ f\left( f(b+a)+b+a\right) =2b+2a }\)

lub:

\(\displaystyle{ f\left( b+3a\right) =2b+3a}\)

róbmy tak dalej i otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(3b+5a)=2b+6a}\)

\(\displaystyle{ f(5b+11a)=6b+10a}\)

\(\displaystyle{ f(11b+21a)=10b+22a}\)

\(\displaystyle{ f(21b+43a)=22b+42a}\)

................................................................................................

można iść tak w nieskończoność...

jeżeli zamienimy to w ciągi otrzymamy:

($$$) \(\displaystyle{ f\left( \frac{2^n+2 \cdot (-1)^n}{6} b +\frac{2^n- (-1)^n}{3} a\right) = \frac{2^n-4 \cdot (-1)^n}{6} b +\frac{2^n+2 \cdot (-1)^n}{3} a}\)

podstawmy teraz do powyższego:

\(\displaystyle{ n:=2n}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f\left( \frac{2^{2n}+2 }{6} b +\frac{2^{2n}- 1}{3} a\right) = \frac{2^{2n}-4 }{6} b +\frac{2^{2n}+2 }{3} a}\)

teraz podstawmy:

\(\displaystyle{ 2^{2n}=k}\)

(***) \(\displaystyle{ f\left( \frac{k+2 }{6} b +\frac{k- 1}{3} a\right) = \frac{k-4 }{6} b +\frac{k+2 }{3} a}\)

teraz weźmy:

\(\displaystyle{ t=\frac{k+2 }{6} b +\frac{k- 1}{3} a}\)

z tego wyliczymy \(\displaystyle{ k}\) :

\(\displaystyle{ k= \frac{6}{2a+b}t + \frac{2a-2b}{2a+b} }\)

po podstawieniu do: (***) otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(t)=t+a-b}\)

ładnie się poskracało...

jeżeli teraz do: ($$$) podstawimy:

\(\displaystyle{ n:=2n+1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f\left( \frac{2^{2n+1}-2 }{6} b +\frac{2^{2n+1}+1}{3} a\right) = \frac{2^{2n+1}+4 }{6} b +\frac{2^{2n+1}-2 }{3} a}\)

\(\displaystyle{ 2^{2n+1}=k}\)

\(\displaystyle{ f\left( \frac{k-2 }{6} b +\frac{k+1}{3} a\right) = \frac{k+4 }{6} b +\frac{k-2 }{3} a}\)

\(\displaystyle{ \frac{k-2 }{6} b +\frac{k+1}{3} a=t }\)

\(\displaystyle{ k= \frac{6}{b+2a} t+ \frac{2b-2a}{b+2a} }\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(t)= \frac{b+2a}{6} k + \frac{2b-2a}{3} }\)

po podstawieniu za \(\displaystyle{ k}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(t)=t+b-a}\)

więc z podstawień parzystych i nieparzystych za n otrzymaliśmy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ f(t)=t+b-a \vee f(t)=t-b+a}\)

lub:

\(\displaystyle{ f(x)=x+b-a \vee f(x)=x-b+a}\)

tak powinna wyglądać nasza funkcja, podstawmy te wzory do równania wyjściowego:

\(\displaystyle{ f\left( x(y+b-a)-y\right) +xy-x+b-a+x+y+b-a=2xy }\)

dalej:

\(\displaystyle{ xy+bx-ax-y+b-a+xy+2b-2a+y=2xy}\)

\(\displaystyle{ bx-ax +3b-3a=0}\)

\(\displaystyle{ x(b-a)+3(b-a)=0}\)

\(\displaystyle{ (b-a)(x+3)=0}\)

oczywiście, żeby równanie to było spełnione musi być:

\(\displaystyle{ b=a}\)

analogiczny wynik otrzymamy , gdy weźmiemy drugi przypadek a więc:

\(\displaystyle{ f(t)=t-b+a}\)

też wyjdzie, że:

\(\displaystyle{ b=a}\)

i z dowolności wyboru \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)

wyszło, że:

\(\displaystyle{ f(a)=b=a}\)

ostatecznie otrzymamy, że nasza funkcja to:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

Dlatego właśnie wyjściowe równanie doprowadziłem do tej postaci, a potem zauważyłem, że ładnie generuje cztery sprzężone ze sobą ciągi...