Matematyka.pl

Hejka, mam takie zadanie.
Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) różniczkowalne w \(\displaystyle{ x=0}\) spełniające
\(\displaystyle{ f(2x)=2f(x)}\). I spełniają to oczywiście funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i wszystkie funkcje stałe ale jak pokazać że nie istnieje więcej takich funkcji?

Jedyne co przychodzi mi na myśl to zapisać to w postaci \(\displaystyle{ \frac{f(2x)}{2x} = \frac{f(x)}{x}}\) dla funkcji \(\displaystyle{ h(x) = \frac{f(x)}{x}}\) mamy \(\displaystyle{ h(2x) = h(x)}\), ale nie wiem czy można i jak to popchnąć dalej.

A można, jak najbardziej, jeszcze jak.
Taki pomysł: kładąc w wyjściowym równaniu \(\displaystyle{ x:=0}\) łatwo dostajemy \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\), czyli że istnieje granica właściwa:
\(\displaystyle{ g= \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}}\)
Ponadto korzystając z warunku \(\displaystyle{ f(2x)=2f(x)}\) możemy udowodnić przez prostą indukcję, że dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ x\in \RR}\) jest \(\displaystyle{ f\left( 2^nx\right)=2^nf(x)}\)
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ y\in \RR\setminus\left\{ 0\right\}}\), dla którego \(\displaystyle{ \frac{f(y)}{y}=h\neq g}\). Ustalmy dowolne takie \(\displaystyle{ y}\). Wówczas także
\(\displaystyle{ \frac{f\left( y 2^{-n}\right) }{y2^{-n}}=h}\) i przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności mamy sprzeczność z warunkiem \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=g}\).
Ostatecznie \(\displaystyle{ f(0)=0, \ f(x)=gx}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\), czyli możemy zapisać \(\displaystyle{ f(x)=gx, \ g\in \RR}\) jest dowolną stałą. Mam nadzieję, że nie ma błędów.