Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Posty: 13372 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35Płeć: MężczyznaLokalizacja: KrakówPodziękował: 3425 razy Pomógł: 809 razy
Post
autor: mol_ksiazkowy 11 paź 2024, o 14:30
Dany jest ciąg funkcji
\(\displaystyle{ f_1(x) = x \\ f_{n+1}(x) = f_n(x)(f_n(x) + \frac{1}{n} )}\)
Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna dodatnia liczba
\(\displaystyle{ a}\) , taka, że
\(\displaystyle{ 0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1}\) dla wszystkich całkowitych
\(\displaystyle{ n \ge 1}\) .
arek1357
Post
autor: arek1357 13 paź 2024, o 16:26
Bardziej może w formie dyskusji...:\(\displaystyle{ f_{n+1}(x)=x}\) -niezerowe\(\displaystyle{ r(n)}\) \(\displaystyle{ r(1)<r(2)<r(3)<...<1}\) \(\displaystyle{ n \ge 2}\) , kolejne rekurencje każdy punkt ściągają albo do zera albo do nieskończoności, jeżeli teraz obliczymy:\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} r(n)=r}\) \(\displaystyle{ f_{1}(r) < f_{2}(r) < f_{3}(r)<...<1}\)
