Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją określoną na zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\) i o wartościach w zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) i taką, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n, m}\) liczb całkowitych \(\displaystyle{ f(m)- f(n)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ f(m-n)}\).
Udowodnić, że wtedy dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n}\) jeśli \(\displaystyle{ f(m) \leq f(n),}\) to \(\displaystyle{ f(n)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ f(m)}\).

Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ f(k)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(k) - f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(0) - f(-k)}\), więc dzieli też \(\displaystyle{ f(-k)}\). Analogicznie \(\displaystyle{ f(-k)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(k)}\), więc \(\displaystyle{ f(-k) = f(k)}\).

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ m, n \in \mathbb{N}}\). Z założenia \(\displaystyle{ f(n)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(n+m) - f(m)}\) a \(\displaystyle{ f(m)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(n+m)-f(n)}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(n+m)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(n) - f(-m) = f(n) - f(m)}\), a zatem trójka liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b, c) = (f(n), f(m), f(n+m))}\) ma tę własność, że każda z nich dzieli różnicę pozostałych.

Wykażemy że każda trójka mająca tę własność jest postaci \(\displaystyle{ (u, u, v)}\) (z dokładnością do permutacji), gdzie \(\displaystyle{ u \mid v}\). Bez zmniejszania ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\). Skoro jednak \(\displaystyle{ c \mid b - a}\), to \(\displaystyle{ b = a}\), chyba że \(\displaystyle{ c \le b-a}\), lecz wtedy \(\displaystyle{ c = b}\). W obu przypadkach trójka jest postaci \(\displaystyle{ (u, u, v)}\). Mamy też \(\displaystyle{ u \mid u - v}\), a stąd \(\displaystyle{ u \mid v}\), tak jak chcemy.

Wynika stąd, że dla każdych dwóch spośród liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\), jedna dzieli drugą. W szczególności \(\displaystyle{ f(n) \mid f(m)}\) lub \(\displaystyle{ f(m) \mid f(n)}\), co należało wykazać.