Matematyka.pl

Czy jeśli \(\displaystyle{ y= f ( f(x) ) }\) jest okresowa, to \(\displaystyle{ y=f(x)}\) też jest okresowa ?

Nie.

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2&\text{dla }x=1 \\ 0&\text{dla }x\ne1. \end{cases} }\)

Wtedy \(\displaystyle{ f(f(x))=0.}\)

JK

`|x|-x` jest dodatkowo ciągła

a żeby była też i niezerowa...(niestała)?

Oto przepis jak zrobić całe mnóstwo takich funkcji:

Niech `f` będzie nieujemną funkcją o okresie `T` a `n:(-\infty,0)\to\NN` dowolną funkcją.
Wtedy funkcja
\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} f(X) & x\ge0\\ n(x)T+f(X)&x<0
\end{cases}}\) spełnia `g(g(X))=f(f(X))`, więc jest okresowa, a `g`nie jest.

A jak pokazać że ta funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) nie jest okresowa? A i jeszcze jedno chciałbym się też upewnić czy w tej odpowiedzi a4karo \(\displaystyle{ x}\) jest tym samym co \(\displaystyle{ X}\).

Tak, `x=X` (takie są skutki pisania za smartfona). Jeżli weźmiesz np `f=1+\sin` to wartości funkcji `g` są w przedziale `[0,2]` dla dodatnich `x` a większe niż `2\pi` dla ujemnych