Matematyka.pl

Witam,
chciałem zapytać czy jeśli mamy rozwiązać graficznie równanie, to czy to samo rozwiązanie wyjdzie nam, jeżeli podniesiemy obie strony do kwadratu. Na przykład:

\(\displaystyle{ - \sqrt{x+6}=x+2 }\)

po podniesieniu do kwadratu daje nam:

\(\displaystyle{ \left| x+6\right|=\left( x+2\right) ^{2} }\).

Podobny przykład próbowałem graficznie rozwiązać i inne rozwiązania wychodzą? To by znaczyło, że nie wolno tak robić?

Damieux pisze: 1 gru 2024, o 17:13\(\displaystyle{ - \sqrt{x+6}=x+2 }\)

po podniesieniu do kwadratu daje nam:

\(\displaystyle{ \left| x+6\right|=\left( x+2\right) ^{2} }\).

Nieprawda, po podniesieniu do kwadratu daje nam

\(\displaystyle{ x+6=\left( x+2\right) ^{2} }\)

i już sama kwestia "dziedziny" pokazuje, że nie jest to przejście równoważne - w równaniu wyjściowym trzeba zrobić założenie \(\displaystyle{ x\ge -6}\), a w równaniu po przekształceniu żadne założenia nie są potrzebne. Dodatkowo podnoszenie do kwadratu zabija informację o znaku - wyjściowe równanie ma szansę być spełnione tylko dla \(\displaystyle{ x\le-2}\), w równaniu po przekształceniu znów nie ma takich ograniczeń.

Damieux pisze: 1 gru 2024, o 17:13 Podobny przykład próbowałem graficznie rozwiązać i inne rozwiązania wychodzą? To by znaczyło, że nie wolno tak robić?

Nie wolno.

JK

Ok dziękuję za wyjaśnienie. Faktycznie dziedzina jest inna, to już powinno wystarczyć. Jednak nie wiem nadal, dlaczego podnosząc lewą stronę do kwadratu nie ma wartości bezwzględnej.
Niech \(\displaystyle{ a=x+6}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \left( - \sqrt{a} \right) ^{2}=\left( - \sqrt{a} \right) \cdot \left( - \sqrt{a} \right)= \sqrt{a ^{2} }=\left| a\right| }\) Czyż nie?

OK, stwierdzenie "nieprawda" było za mocne, natomiast wartość bezwzględna jest zupełnie zbędna. Zauważ, że żeby w ogóle móc rozważać \(\displaystyle{ - \sqrt{a}}\) musisz założyć, że \(\displaystyle{ a\ge 0,}\) a wtedy \(\displaystyle{ |a|=a.}\) Zatem

\(\displaystyle{ \left( - \sqrt{a} \right) ^{2}=a.}\)

To proste: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|,}\) ale \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a} \right) ^{2}=a.}\)

Ok będę już wiedział. Dziękuję