Czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)= \min\left( x, \frac{y}{x^2+y^2}\right) }\) ma
i) minimum
ii) maksimum
jeśli \(\displaystyle{ x, y >0}\) ?
Ekstrema ?
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13391
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Ekstrema ?
Ostatnio zmieniony 26 mar 2022, o 11:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Re: Ekstrema ?
Dla ułatwienia połóżmy \(\displaystyle{ x=r\cos \varphi, \ y=r\sin \varphi, \ r\in \RR^{+}, \ \varphi\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\).
Wtedy badane wyrażenie przyjmuje formę \(\displaystyle{ \min\left(r\cos \varphi, \frac{\sin \varphi}{r}\right)}\).
Coś takiego w oczywisty sposób nie ma minimum, bo jest zawsze dodatnie i jego kres dolny to zero, o czym łatwo się przekonać, biorąc dowolne ustalone \(\displaystyle{ \varphi}\) z tego zakresu i \(\displaystyle{ r_n=\frac 1 n, \ n=1,2,3\ldots}\). Maksimum natomiast jak najbardziej przyjmuje. Po pierwsze zauważmy, że \(\displaystyle{ r\cos \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{r}=\sin \varphi\cos \varphi=\frac{1}{2}\sin(2\varphi)\le \frac 1 2}\), a zatem skoro obie liczby \(\displaystyle{ r\cos \varphi, \ \frac{\sin \varphi}{r}}\) są dodatnie, to co najmniej jedna jest nie większa niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\), przeto
\(\displaystyle{ \min_{r\in \RR^+, 0<\varphi<\pi/2}\left(r\cos \varphi, \frac{\sin \varphi}{r}\right)\le \frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Ponadto równość jest osiągana, gdy \(\displaystyle{ r\cos \varphi=\frac{\sin \varphi}{r}}\), tj. na przykład dla \(\displaystyle{ r=1, \ \varphi=\frac{\pi}{4}}\), co w wyjściowych zmiennych odpowiada relacji \(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Wtedy badane wyrażenie przyjmuje formę \(\displaystyle{ \min\left(r\cos \varphi, \frac{\sin \varphi}{r}\right)}\).
Coś takiego w oczywisty sposób nie ma minimum, bo jest zawsze dodatnie i jego kres dolny to zero, o czym łatwo się przekonać, biorąc dowolne ustalone \(\displaystyle{ \varphi}\) z tego zakresu i \(\displaystyle{ r_n=\frac 1 n, \ n=1,2,3\ldots}\). Maksimum natomiast jak najbardziej przyjmuje. Po pierwsze zauważmy, że \(\displaystyle{ r\cos \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{r}=\sin \varphi\cos \varphi=\frac{1}{2}\sin(2\varphi)\le \frac 1 2}\), a zatem skoro obie liczby \(\displaystyle{ r\cos \varphi, \ \frac{\sin \varphi}{r}}\) są dodatnie, to co najmniej jedna jest nie większa niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\), przeto
\(\displaystyle{ \min_{r\in \RR^+, 0<\varphi<\pi/2}\left(r\cos \varphi, \frac{\sin \varphi}{r}\right)\le \frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Ponadto równość jest osiągana, gdy \(\displaystyle{ r\cos \varphi=\frac{\sin \varphi}{r}}\), tj. na przykład dla \(\displaystyle{ r=1, \ \varphi=\frac{\pi}{4}}\), co w wyjściowych zmiennych odpowiada relacji \(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}}\).