Matematyka.pl

Znajdź błąd w poniższym rozumowaniu.
Stwierdzenie: Dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\), każda grupa \(\displaystyle{ n}\) kotów składa się z kotów tego samego koloru (czyli po
prostu wszystkie koty są tego samego koloru).
Dowód indukcyjny:
1) \(\displaystyle{ n = 1}\). Jeden kot ma taki sam kolor jak on sam, więc teza prawdziwa.
2) Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) każda grupa \(\displaystyle{ n}\) kotów składa się z kotów tego samego koloru. Rozważmy
\(\displaystyle{ n + 1}\) elementową grupę kotów. Wyróżnijmy dwa z nich i najwijmy je Mruczek i Pusia. Nie licząc Pusi,
grupa ta ma juz n elementów, więc, na mocy założenia indukcyjnego, wszystkie koty poza Pusią mają
ten sam kolor. Analogicznie, wszystkie koty poza Mruczkiem też mają ten sam kolor. Tak więc, zarówno
Mruczek jak i Pusia mają ten sam kolor, co reszta kotów w grupie, więc ostatecznie cała \(\displaystyle{ n+ 1}\) elementowa
grupa kotów ma ten sam kolor.
Na mocy Zasady indukcji matematycznej, wszystkie koty mają ten sam kolor.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania: Pierwszy krok indukcyjny jest prawdziwy, bo każdy kot jest tego samego koloru co on sam. Jednak dalsze rozumowanie, nie może być przeprowadzone dla dowolnej grupy \(\displaystyle{ n}\) kotów. Bo jeśli rozważymy grupę złożoną tylko z dwóch kotów, to poza Pusią, Mruczek ma ten sam kolor co on sam i analogicznie Pusia, ale nie może być mowy o reszcie kotów, które "Przekażą" kolor bo pozostałych kotów jest brak. Zatem nie można uzasadnić, że dwa koty są tego samego koloru, stąd nie można wnioskować o większej ich liczbie.

Dobrze?

Krok indukcyjny nie przechodzi dla n=1

W jakim to sensie?

a4karo pisze: 13 sty 2025, o 17:11 Krok indukcyjny nie przechodzi dla n=1

Takie sformułowanie jest mylące, bo dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest OK (każdy jednoelementowy zbiór kotów jest monochromatyczny), choć zdaję sobie sprawę, że co innego miałeś na myśli.

max123321, Twoje uzasadnienie jest dobre.

JK

Dla n=1 twierdzenie jest prawdziwe, ale dowód kroku indukcyjnego w przypadku 1 ->2 się sypie

Wiem - to właśnie opisał max.

"wszystkie koty poza Pusią mają
ten sam kolor. Analogicznie, wszystkie koty poza Mruczkiem też mają ten sam kolor"
mamy kolorA = wszystkie koty poza Pusią
mamy kolorB = wszystkie koty poza Mruczkiem
kolorA i kolorB to niekoniecznie ten sam kolor
dla n=2:
niech Pusia ma kolorB a Mruczek kolorA
"Tak więc, zarówno Mruczek jak i Pusia mają ten sam kolor" - bezpodstawny wniosek