Hej,
Mam takie zadanko...
Podać wzór na sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)}\)
To jest chyba dość prosty przykład(później mam trudniejsze), ale nie wiem jak za to się zabrać.
Wyznaczanie wzoru na sume
-
szw1710
Wyznaczanie wzoru na sume
Można udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\). Znając wzór na sumę częściową ciągu arytmetycznego masz zadanie rozwiązane.
Możesz zastosować metodę zaburzania czy też repertuarową. Przewidujesz, że szukana suma ma postać \(\displaystyle{ An^3+Bn^2+Cn+D}\) i szukasz tych stałych.
Możesz zastosować metodę zaburzania czy też repertuarową. Przewidujesz, że szukana suma ma postać \(\displaystyle{ An^3+Bn^2+Cn+D}\) i szukasz tych stałych.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
Wyznaczanie wzoru na sume
Postać sumowanego wyrażenia mogłaby sugerować, że przerabiacie rachunek różnicowy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)
Q.
-
ronek22
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
Wyznaczanie wzoru na sume
No właśnie nie mieliśmy jeszcze rachunku, dopiero co mieliśmy logikę i to właśnie w dziale indukcji matematycznej mamy.
-
ronek22
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
Wyznaczanie wzoru na sume
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1) = \sum_{k=1}^{n}k^2+k
=\sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\\
=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2+4n)}{6}=\frac{(n+1)2n(n+2)}{6}=\\
= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)
Chyba się zgadza,
Dziękuje za pomoc
=\sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\\
=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2+4n)}{6}=\frac{(n+1)2n(n+2)}{6}=\\
= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)
Chyba się zgadza,
Dziękuje za pomoc
-
wielkireturner
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
Wyznaczanie wzoru na sume
Jeśli mogę się spytać, co oznacza zapis z dodatkowymi kreskam pionowymi i poziomymi?Qń pisze:Postać sumowanego wyrażenia mogłaby sugerować, że przerabiacie rachunek różnicowy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)
Q.