\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} =2 ^{n}}\)
ja to zrobiłam tak, ale nie wiem co dalej :/
najpierw sprawdziłam ze tw. jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=0}\) , nastepnie teza:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} =2 ^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k}= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} =2 ^{n} \frac{n+1}{n-k+1}}\)
nie wiem co zle robie, ale ten ułamek powinien wynosic \(\displaystyle{ 2}\) ( ktos ma jakis pomysł?
Wykazac z indukcji matematycznej
-
Matle5
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 kwie 2016, o 19:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 4 razy
Wykazac z indukcji matematycznej
Ostatnio zmieniony 25 maja 2016, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Wykazac z indukcji matematycznej
Przykro mi, ale chyba w ogóle nie rozumiesz zapisu za pomocą sigmy.
Np. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+...+n}\) dla naturalnych \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Wobec tego nie będę się pochylał nad Twoimi przekształceniami, bo pozostawienie \(\displaystyle{ k}\) sugeruje, że kompletnie źle to zrobiłaś.
Drugi krok indukcyjny:
zakładamy, że dla pewnego n naturalnego jest \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}\);
mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}=1+ \sum_{k=1}^{n+1}{n+1\choose k}=1+ \sum_{k=1}^{n+1}\left( {n \choose k}+{n \choose k-1}\right)=\\=1+ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k}+ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}= \sum_{k=0}^{n+1}{n \choose k}+ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2 \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}}\)
i koniec.
Wykorzystałem założenie indukcyjne, fakt że \(\displaystyle{ {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ {n \choose n+1}=0}\). No i w tej sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}}\) przesunąłem indeksy.-- 25 maja 2016, o 21:10 --Konkretnie na "równość" to jakiś potworek:
Np. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+...+n}\) dla naturalnych \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Wobec tego nie będę się pochylał nad Twoimi przekształceniami, bo pozostawienie \(\displaystyle{ k}\) sugeruje, że kompletnie źle to zrobiłaś.
Drugi krok indukcyjny:
zakładamy, że dla pewnego n naturalnego jest \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}\);
mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}=1+ \sum_{k=1}^{n+1}{n+1\choose k}=1+ \sum_{k=1}^{n+1}\left( {n \choose k}+{n \choose k-1}\right)=\\=1+ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k}+ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}= \sum_{k=0}^{n+1}{n \choose k}+ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2 \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}}\)
i koniec.
Wykorzystałem założenie indukcyjne, fakt że \(\displaystyle{ {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ {n \choose n+1}=0}\). No i w tej sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}}\) przesunąłem indeksy.-- 25 maja 2016, o 21:10 --Konkretnie na "równość" to jakiś potworek:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} =2 ^{n} \frac{n+1}{n-k+1}}\)