Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k+1} \frac{1}{k}{n\choose k}=1+ \frac{1}{2}+...+ \frac{1}{n}}\)
Wskazówka: \(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}= \frac{n+1}{k+1}{n\choose k}}\)
Czy wie ktoś jak to zacząć?

Wskazówka do drugiego kroku indykcyjnego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1}(-1) ^{k+1} \frac{1}{k}{n+1\choose k}= \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\frac 1 k\left( {n \choose k}+{n \choose k-1}\right)=\\=[\text{ zał.
indukcyjne}]= 1+\ldots +\frac 1 n+ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} {n \choose k-1}}\)
i teraz w tej ostatniej sumie zastosuj wskazówkę, z którą tu przyszedłeś.

Niestety nie bardzo widzę jak to przekształcić. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} {n \choose k-1}=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{n+1} {n+1 \choose k}}\)
To jedyne co mi przychodzi do głowy, ale nie dostrzegam aby coś z tego wynikało. Mógłbyś mnie oświecić?

OK, teraz w ostatniej sumie wyciągnij przed wszystko to całe \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\), dodaj i odejmij jeden wyraz i spróbuj skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona:
\(\displaystyle{ - \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k{n+1 \choose k}=-{\red \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k\cdot 1^{n+1-k}{n+1 \choose k}}=\ldots}\)

Teraz rozumiem.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} {n \choose k-1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{n+1} {n+1 \choose k}= \frac{1}{n+1}(1+(-1) ^{n+1}- \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k 1^{n+1-k}{n+1 \choose k}= \frac{1}{n+1}+ \frac{(-1) ^{n+1} }{n+1}}\)
Co po wstawieniu w miejsce do którego mnie doprowadziłeś daje tożsamość, której należało dowieść.
Dzięki za pomoc.