Wykazać podzielność.

Finarfin · Post autor: **Finarfin** » 13 gru 2005, o 15:48

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n-(-3)^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 10}\).

Prosiłbym o pomoc. Nie wiem dlaczego, ale chyba coś robię niby dobrze, a jednak nie
Może pokażę jak robię:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{n} \bigvee_{k N} 7^n-(-3)^n=10k \bigvee_{l N} 7^{n+1}-(-3)^{n+1}=10l}\)
\(\displaystyle{ L=7^n\cdot7-(-3)^n\cdot(-3)=7^n\cdot(10-3)-(-3)^n\cdot(7-10)=7^n\cdot10-7^n\cdot3-(-3)^n\cdot7+(-3)^n\cdot10=...}\)

I chyba już zaczynam coś mieszać. Mógłby ktoś ładnie napisać dalsze rozwinięcie/przeredagować to tak by wyszło OK? Z góry dziękuję.

soliter · Post autor: **soliter** » 13 gru 2005, o 15:58

Mamy \(\displaystyle{ 10|(7^n-(-3)^n)}\)
\(\displaystyle{ (7^{n+1}-(-3)^{n+1})=7(7^n-(-3)^n)+7\cdot (-3)^n -(-3)^{n+1}=7(7^n-(-3)^n)+[(-3)^n][7-(-3)]=7(7^n-(-3)^n)+[(-3)^n][10]}\)
Widać nie?

Finarfin · Post autor: **Finarfin** » 13 gru 2005, o 21:51

soliter, no ja widzę, ale muszę to ładnie wsio opisać, więc chyba to trzeba jeszcze trochę pociągnąc w stylu:

\(\displaystyle{ (7^{n+1}-(-3)^{n+1})=7(7^n-(-3)^n)+7\cdot (-3)^n -(-3)^{n+1}=7(7^n-(-3)^n)+[(-3)^n][7-(-3)]=7(7^n-(-3)^n)+[(-3)^n][10]= \\ =7\cdot10k+(-3)^n\cdot10+10\cdot(-3)^n=10(7k+(-3)^n+(-3)^n)}\)
I teraz chyba tylko napisać, iż wyrażenie \(\displaystyle{ 7k+(-3)^n+(-3)^n}\) jest liczbą naturalną co kończyłoby treść dowodu. Myślisz, że to już będzie w 100% dobre i poprowadzone do końca?

soliter · Post autor: **soliter** » 13 gru 2005, o 22:00

Tak, możesz tak napisać. GIT

Finarfin · Post autor: **Finarfin** » 13 gru 2005, o 22:02

soliter, no to mam nadzieję, że to już jest super hiper, by mi punkcików nie obcięto...a tam lubią obcinać za wszystko :]

soliter · Post autor: **soliter** » 13 gru 2005, o 22:07

Pamiętaj, że to był tylko krok indukcyjny.
Musisz jeszcze sprawdzić dla jakiegoś n, a także napisać; tutaj sprawdzenie, a tam krok indukcyjny. Polecam jeszcze na koniec w jednym zdaniu wszystko ładnie podsumować;
na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy podzielność danej liczby przez 10 dla dowolnej liczby naturalnej n. (gdy sprawdzasz n=0)

Finarfin · Post autor: **Finarfin** » 13 gru 2005, o 22:08

soliter, spoko, spoko...tamto pozostałe to jest czyste pisanie i prawie bezmyślne robienie. Tutaj zawiera się cała myśl indukcji Aż takim żółtodziobem nie jestem brakowało pomysłu...

soliter · Post autor: **soliter** » 13 gru 2005, o 22:09

Ja w wieku ośmiu lat byłem żółtodziobem