Matematyka.pl

Witam.

Niestety z indukcji matematycznej to ja najlepszy nie jestem i mam kłopoty z wykazaniem:

Dla każdej liczby nautralnej n liczba \(\displaystyle{ n^{3}}\) - n jest podzielna przez 6.

Nie mam pojęcia jak to zrobić. Oczywiście nie ma problemu by sprawdzić tą własność dla n=1 oraz sformułowaniem założenia i tezy ondukcyjnej. Ale czy mam to dobrze to nie mam pojęcia i dlatego nie pisze.

Sporo takich zadanek jest w tym dziale, poszukaj a na pewno coś znajdziesz. Przykładowe zadanie jest np. tutaj

\(\displaystyle{ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)}\) jak sam widzisz są to trzy kolejne liczby naturalne

\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) Wnioski się same nasuwają:)

Zgadza się, ale to miało być przy pomocy indukcji matematycznej.

wykaz podzielnosc przez 2 i 3. z tym chyba nie bedziesz mial problemu

Sprawdź sobie jakiś mały przypadek.

Załóżmy, że dla \(\displaystyle{ \mathbb{N}\ni n}\) mamy \(\displaystyle{ 6|n^3-n}\).

\(\displaystyle{ (n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n=(n^3-n)+3n(n+1)}\).

Z założenia mamy \(\displaystyle{ 6|n^3-n}\), wystarczy więc pokazać \(\displaystyle{ 6|3n(n+1)}\).

\(\displaystyle{ 2|n(n+1)}\), to oczywiste, więc reasumując \(\displaystyle{ 6|3n(n+1)}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki