Matematyka.pl

Nie wiem jaki będzie następny krok w zadaniu:
Wykaż, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3^{n+2}>4n+7}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\)

1* sprawdzam dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{3+2}>4 \cdot 3+7}\)
Nierówność zachodzi

2* Założenie (\(\displaystyle{ n}\))
Załóżmy, że nierówność \(\displaystyle{ 3^{n+2}>4n+7}\) zachodzi dla n>2

3*Teza (\(\displaystyle{ n+1}\))
\(\displaystyle{ 3^{n+1+2}>4(n+1)+7}\)
\(\displaystyle{ L=3^{n+3}=3 \cdot 3 ^{n+2}}\)

i co dalej, jakaś podpowiedź?

Z założenia indukcyjnego masz
\(\displaystyle{ 3^{n+2}>4n+7}\), a zatem
\(\displaystyle{ 3^{n+3}=3\cdot 3^{n+2}>3\cdot (4n+7)=12n+21}\)
i wystarczy uzasadnić, że \(\displaystyle{ 12n+21\ge 4(n+1)+7}\), co nie jest trudne.

Premislav, dzięki