Matematyka.pl

Cześć,
Mam wykazać, że \(\displaystyle{ 9|(4^{n}+15n-1)}\)dla każdego \(\displaystyle{ n N+}\)
Więc najpierw sobie sprawdzam czy twierdzenie jest prawdziwe dla k0=1, później punkt 2. Zakładam słuszność tw dla n=k i \(\displaystyle{ k N+}\):
\(\displaystyle{ 4^{k}+15k-1 = 9t_{1} t_{1} N+}\) (*)
Póżniej w tezie piszę, że wykażę słuszność tego tw dla n=k+1:
\(\displaystyle{ 4^{k+1}+15k+15-1 = 9t_{2} t_{2} N+}\) (**)
Dowód:
Lewą stronę doprowadziłem do takiej postaci:
\(\displaystyle{ L = ... = 9(4t_{1}+2-5k) = 9t_{2}}\) (***)
I teraz w zeszycie mam pod tym wyrażeniem w nawiasie 9(...) napisane, że \(\displaystyle{ t_{2} N+}\). No właśnie... a możemy przecież znaleść łatwo takie \(\displaystyle{ t_{1}}\) i k dla których to wyrażenie w nawiasie nie bedzie należało do naturalnych dodatnich czyli tym samym nie będzie można tego zastąpić \(\displaystyle{ t_{2}}\), więc nie będzie się to równać prawej stronie. No i właśnie tutaj moje pytanie, do czego ma należeć w tym wypadku \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\), żeby w rozwiązaniu tego przykładu nie było błędu? W książce patrzyłem to tam jest w analogicznym przykładzie, że \(\displaystyle{ t_{x} C}\) czego już kompletnie nie rozumiem (do zespolonych?). Jakby ktoś mógłby mi to wytłumaczyć, byłbym wdzięczny .

A wiec tak:
Dla kazdego n nalezacego do N+
\(\displaystyle{ 4^{n}+15n-1=9p}\), p nalezy do calkowitych ( bo 9 jest dzielnikiem tego wyrazenia jesli powstaje liczba calkowita)
dla n=1
L=18
P=9p p=2

dla kazdego K nalezacego do N+ k>=1
\(\displaystyle{ 4^{k}+15k-1=9c}\), c nalezy do calkowitych => \(\displaystyle{ 4^{k+1}+15(k+1)-1=9z}\), z nalezy do calkowitych

Dowod:
z tezy indukcyjnej: \(\displaystyle{ 4^{k}+15k-1=9c}\) \(\displaystyle{ 4^{k}=9c-15k+1}\)
\(\displaystyle{ 4^{k+1} + 15k +14=4*4^{k}+15k+14=4*(9c-15k+1)+15k+14=4*9c-45k+18=9(4c-5k+2)}\)

i teraz tak wyrazenie w nawiasie jest liczba calkowita gdyz k jest liczba naturalna i c calkowita stad dowiedlismy ze to jest rowne 9p (patrz na samej gorze)

pozdrawiam

Po prostu w tym dowodzie jest intuicyjnie przyjęte, że 4t1 - 5k + 2 jest większe od 0. Tak jest - jak nie wierzysz, to skorzystaj z założenia indukcyjnego, tam widać, że t1 jest zawsze większe (i to znacznie) od k.
No i C to są w liceum całkowite, znowuż bez przesady.

[ Dodano: Sob Kwi 15, 2006 5:58 pm ]
Tomku, gdyby tu były całkowite, to żaden problem. Ograniczamy się tylko do naturalnych dodatnich.

ale ze o co chodzi? a chyba wiem chodzi Ci o to ze w zalozeniu i tezie dalem ze 9c,z naleza do calkowitych? k>=1 wiec rzeczywiscie mozemy rozpatrywac tylko naturalne dodatnie, ale to i tak chyba to samo, po prostu szerszy zakres

No właśnie czasem łatwiej w szerszym zakresie. I z tym by autor posta nie miał problemów żadnych. ; )

Hm, czyli tak podsumowując \(\displaystyle{ t_{x}}\)(z mojego przykładu) może należeć do całkowitych ale można też je ograniczyć tylko do naturalnych dodatnich?

W Twoim przykładzie chyba zawsze będzie należało do N+. Natomiast w innych przypadkach może być całkowite, bo w końcu podzielność obowiązuje też liczby całkowite