Matematyka.pl

Treść zadnia:
Wskazać błąd w podanym poniżej "dowodzie".
"Twierdzenie" Dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 0}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 30n < 2^n + 110}\).
"Dowód": Załóżmy, że \(\displaystyle{ 30n < 2^n + 110}\).
Wtedy \(\displaystyle{ 30(n + 1) = 30n + 30 < 2^n + 110 + 30 < 2^{n+1} + 110}\),
gdzie ostatnia nierówność zachodzi, o ile \(\displaystyle{ n \ge 5}\). Dla \(\displaystyle{ n = 0, 1, 2, 3, 4}\) sprawdzamy
bezpośrednio. Tym samym nierówność zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 0}\).

Nie jestem pewien, ale czy błąd nie następuje w tym oto przejściu: \(\displaystyle{ 2^n + 110 + 30 < 2^{n+1} + 110}\) z drugiej jednak strony nie mam kompletnie pomysłu na ewentualne przekształcenia tutaj, z pozoru wygląda to poprawnie(według mnie).
Druga myśl jaka mi się nasuwa to po prostu wyjaśnienie, że błędem jest stwierdzenie, iż nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\), bowiem jeśli dla \(\displaystyle{ n}\) zachodziło od \(\displaystyle{ 0}\), to dlaczego dla \(\displaystyle{ n+1}\) od \(\displaystyle{ 5}\), co prowadzi do sprzeczności i nieudowodnieniu dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\).
Z góry dziękuję za pomoc.

mar123zaj pisze:
Wtedy \(\displaystyle{ 30(n + 1) = 30n + 30 < 2^n + 110 + 30 < 2^{n+1} + 110}\),

Ta nierówność:
\(\displaystyle{ 2^{n}+30<2^{n+1}}\) jest prawdziwa dopiero pocżąwszy od \(\displaystyle{ n \ge 5}\).
Teraz żeby indukcja zadziałała trzeba sprawdzić prawdziwość tezy dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,3,4,5}\).
(Dla \(\displaystyle{ 5}\) też trzeba, inaczej indukcja nie ruszy!).
Tymczasem dla \(\displaystyle{ n=5}\) dowodzona nierówność:
\(\displaystyle{ 30n<2^{n}+110}\) jest fałszywa! (\(\displaystyle{ 150>142}\)).
Wobec tego indukcja nie działa i dowód jest niepoprawny (bo teza jest w ogóle nieprawdziwa). Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ n \ge 6}\) to nierówność można udowodnić i dowód będzie niemal identyczny do tego "niepoprawnego" dowodu (bo wtedy indukcja nam ruszy).

bakala12 pisze:Ta nierówność:
\(\displaystyle{ 2^{n}+30<2^{n+1}}\) jest prawdziwa dopiero pocżąwszy od \(\displaystyle{ n \ge 5}\).
Teraz żeby indukcja zadziałała trzeba sprawdzić prawdziwość tezy dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,3,4,5}\).
(Dla \(\displaystyle{ 5}\) też trzeba, inaczej indukcja nie ruszy!).

Dokładniej, pokazaliśmy, że dla \(\displaystyle{ n\ge 5}\) prawdziwe jest wnioskowanie

\(\displaystyle{ 30n < 2^n + 110 \Rightarrow 30(n+1) < 2^{n+1} + 110}\)

Żeby móc z tego wnioskowania skorzystać, trzeba od czegoś zacząć, w tym wypadku musielibyśmy zacząć od \(\displaystyle{ n=5}\) (bo jak teza jest prawdą dla \(\displaystyle{ n=5}\), to z wnioskowania jest prawdą dla \(\displaystyle{ n=6}\), zatem z wnioskowania jest prawdą dla \(\displaystyle{ n=7}\) itd.), a to - jak wskazał bakala12 - jest niewykonalne.

JK