Matematyka.pl

Udowodnij idnukcyjnie:

\(\displaystyle{ 6|n^{3}+5n}\)

Założenie:
\(\displaystyle{ n^{3}+5n=6t}\)
Teza:
\(\displaystyle{ (n+1)^{3}+5n+5=6s}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L=n^{3}+3n^{2}+3n+1+5n+5=n^{3}+5n+3n^{2}+3n+6}\) z założenia \(\displaystyle{ 6t=n^{3}+5n}\)
\(\displaystyle{ L=6t+3n^{2}+3n+6}\)(*)

i teraz w tym miejscu(*) chce iść w myśl tego jak robimy przykład indukcji
\(\displaystyle{ 2|n^{2}+n}\)

Założenie:
\(\displaystyle{ n^{2}+n=2t}\)
Teza:
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}+n+1}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ L=(n+1)^{2}+(n+1)=n^{2}+2n+1+n+1=n^{2}+n+2n+2=2t+2n+2=2(t+n+1)=2s}\)
c.n.u


Gdzie popełniam błąd w tym powyższym przykładzie z podzielnością przez 6 ???

Z góry dzięi o pomoc!!!

Kaszim pisze: \(\displaystyle{ L=6t+3n^{2}+3n+6}\)(*)

Sprawdź, na wszelki wypadek obliczenia (nie zrobiłem tego w razie czego), ale:

\(\displaystyle{ L = 6t + 3n(n+1) + 6}\), oczywiście \(\displaystyle{ 6|6t\wedge 6|6}\).

\(\displaystyle{ 3n(n+1)}\) też jest podzielne przez 6, bo:
-jest podzielne przez 3,
-co najmniej jedna z liczby n, n+1 jest podzielna przez 2, wiec 6|L.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

a moge to tak zapisać:
\(\displaystyle{ L=6t+3n(n+1)+6=6(t+\frac{1}{2}n(n+1)+1)=6s}\) ???

Hm, w sumie tak, bo \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{Z}_+ n(n+1)/2 \mathbb{Z}_+}\) jako iloczyn kolejnych liczb naturalnych

A, tyle, że nie 6s, bo tej zmiennej już wcześniej użyłeś. Wprowadź sobie inną. Nie dowodzisz tutaj żadnej równości, tylko podzielności.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

w założeniu miałem zmienną 't' a w tezie 's', poza tym na zajęciach taki spoósb zapisu jest akceptowany

Wielkie dzięki!!!