Matematyka.pl

Przy pomocy indukcji matematycznej pokazać że :

Dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) liczba postaci \(\displaystyle{ 3^{4n+2} + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ 2^{n+2} \cdot 3 ^{n} + 5n - 4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 25}\)

1) Wskazówka do drugiego kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ 3^{4(n+1)+2}+1=81\cdot 3^{4n+2}+1=81\cdot(3^{4n+2}+1)-80}\)
i wykorzystać założenie indukcyjne.

2) Wskazówka do drugiego kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ 2^{n+3} \cdot 3 ^{n+1} + 5(n+1) - 4=6\cdot 2^{n+2}\cdot 3^{n}+5(n+1)-4=\\=6\cdot (2^{n+2}\cdot 3^n+5n-4)-25(n-1)}\)
i wykorzystać założenie indukcyjne.